Chapitre 3 — Polynômes du second degré · coursI Fonction polynôme du second degré

Sommaire du chapitre

I — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 1 — Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$
II — Forme factorisée et racines
- Méthode 2 — Développer une forme factorisée, lire les racines
III — Le discriminant
- Méthode 3 — Calculer un discriminant
IV — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 4 — Résoudre une équation du second degré
V — Factoriser un trinôme
- Méthode 5 — Factoriser un trinôme
VI — Représentation graphique des fonctions du second degré
- Méthode 6 — Tracer une parabole à partir d'un tableau de valeurs
VII — Sommet et variations de la parabole
- Méthode 7 — Trouver le sommet, dresser le tableau de variations
VIII — Synthèse : étudier et tracer une parabole
- Méthode 8 — Étude complète d'une fonction du second degré
IX — Signe d'un trinôme
- Méthode 9 — Dresser le tableau de signes d'un trinôme
X — Inéquations du second degré
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation du second degré
XI — Intersection d'une parabole et d'une droite
- Méthode 11 — Trouver les points d'intersection
XII — Position relative de deux courbes
- Méthode 12 — Étudier la position relative de deux courbes
XIII — Problèmes du second degré
- Méthode 13 — Résoudre un problème du second degré

Définition 1 — Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme de degré 2, ou trinôme, est une fonction $f$ définie sur $R$ par

f (x) = a x^{2} + b x + c

avec a \neq = 0.

Les nombres $a$ , $b$ et $c$ sont ses coefficients. Si $a = 0$ , il reste $b x + c$ : c'est une fonction affine.

Méthode 1 — Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$

Exemples corrigés

Donner, quand c'est possible, les coefficients $a$ , $b$ et $c$ :

a)
$P (x) = 4 x^{2} - 3 x + 7$ ; $R (x) = - x^{2} + \frac{3}{4} x$ ; $T (x) = \frac{2}{3} x^{2} - 5$
b)
$U (x) = (x + 3)^{2} - 2 (x - 1)$
c)
$V (x) = (x + 2)^{2} - x^{2}$

Correction

P

a = 4

b = - 3

c = 7

on lit chaque coefficient avec son signe

R

a = - 1

b = \frac{3}{4}

c = 0

- x^{2} = - 1 \times x^{2}

; pas de nombre seul :

c = 0

T

a = \frac{2}{3}

b = 0

c = - 5

pas de terme en

x

b = 0

U (x)

= (x + 3)^{2} - 2 (x - 1)

des parenthèses : on développe d'abord

U (x)

= x^{2} + 6 x + 9 - 2 x + 2

identité remarquable, puis distributivité

U (x)

= x^{2} + 4 x + 11

on réduit et on range

a = 1

b = 4

c = 11

V (x)

= x^{2} + 4 x + 4 - x^{2}

on développe

V (x)

= 4 x + 4

les

x^{2}

s'éliminent

V

n'est pas un trinôme : c'est une fonction affine.

a = 0

À vous de jouer

Donner, quand c'est possible, les coefficients $a$ , $b$ et $c$ :

f (x) = 3 - 2 x^{2}

g (x) = (3 x - 1) (x + 2)

h (x) = 3 (x - 1)^{2} - 3 x^{2}

Correction

f

a = - 2

b = 0

c = 3

on lit chaque coefficient avec son signe ; pas de terme en

x

b = 0

g (x)

= (3 x - 1) (x + 2)

des parenthèses : on développe d'abord

g (x)

= 3 x^{2} + 6 x - x - 2

g (x)

= 3 x^{2} + 5 x - 2

on réduit et on range

g

a = 3

b = 5

c = - 2

h (x)

= 3 (x^{2} - 2 x + 1) - 3 x^{2}

identité remarquable

h (x)

= 3 x^{2} - 6 x + 3 - 3 x^{2}

h (x)

= - 6 x + 3

les

x^{2}

s'éliminent

h

n'est pas un trinôme : c'est une fonction affine.

a = 0

À faire : exercices 1 à 4

Exercice 1 — Est-ce un trinôme ?

Pour chaque fonction, dire si c'est une fonction polynôme du second degré. Si oui, donner $a$ , $b$ et $c$ ; sinon, dire pourquoi.

a)
$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$
b)
$g (x) = 4 x + 1$
c)
$h (x) = - x^{2} + 6$
d)
$k (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 1$
e)
$l (x) = (x + 2) (x - 4)$
f)
$m (x) = x^{2} - (x - 1)^{2}$

Corrigé

a)
Oui : $a = 3$ , $b = - 2$ , $c = 5$ .
b)
Non : $4 x + 1$ est affine (pas de $x^{2}$ ).
c)
Oui : $a = - 1$ , $b = 0$ , $c = 6$ .
d)
Non : il y a un terme en $x^{3}$ .
e)
$l (x) = x^{2} - 2 x - 8$ : oui, $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - 8$ .
f)
$m (x) = x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) = 2 x - 1$ : non, affine.

Une expression avec des parenthèses se développe avant de conclure.

Exercice 2 — Lire les coefficients

Donner $a$ , $b$ et $c$ , avec leur signe.

A $=$
$3 x^{2} - 4 x + 2$
B $=$
$- x^{2} + 5 x$
C $=$
$x^{2} - 16$
D $=$
$- 2 x^{2} + 7$
E $=$
$\frac{1}{3} x^{2} + x - 4$
F $=$
$6 - 3 x - x^{2}$
G $=$
$- x^{2} + 2 x - 5$
H $=$
$5 x^{2}$

Corrigé

f

3

;

- 4

;

2

g

- 1

;

5

;

0

h

1

;

0

;

- 16

k

- 2

;

0

;

7

l

\frac{1}{3}

;

1

;

- 4

m

- 1

;

- 3

;

6

n

- 1

;

2

;

- 5

p

5

;

0

;

0

Pour $m$ , on range d'abord : $- x^{2} - 3 x + 6$ . Un terme absent vaut $0$ .

Exercice 3 — Développer d'abord

Développer et réduire, puis donner $a$ , $b$ et $c$ quand c'est un trinôme. Deux de ces expressions n'en sont pas.

A $=$
$(x + 3) (x - 4)$
B $=$
$(3 x - 2) (x + 1)$
C $=$
$(x - 2)^{2} + 5$
D $=$
$2 (x + 3)^{2} - 1$
E $=$
$(x + 3)^{2} - (x - 3)^{2}$
F $=$
$(3 x + 1)^{2} - 9 x^{2}$

Corrigé

f (x) = x^{2} - x - 12

g (x) = 3 x^{2} + x - 2

h (x) = x^{2} - 4 x + 9

k (x) = 2 x^{2} + 12 x + 17

l (x)

= x^{2} + 6 x + 9 - (x^{2} - 6 x + 9)

l (x)

= 12 x

m (x)

= 9 x^{2} + 6 x + 1 - 9 x^{2}

m (x)

= 6 x + 1

$l$ et $m$ ne sont $pas des trin \overset{o}{ˆ} mes$ (les $x^{2}$ s'éliminent).

Exercice 4 — Calculer des images

1)
$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ : calculer $f (0)$ , $f (1)$ , $f (- 2)$ et $f (\frac{1}{3})$ .
2)
$g (x) = - x^{2} + 6 x$ : calculer $g (2)$ , $g (- 1)$ , $g (7)$ et $g (\frac{1}{2})$ .
3)
Que remarque-t-on pour $g (- 1)$ et $g (7)$ ?

Corrigé

1°)
$f (0) = 1$ ; $f (1) = 3 - 2 + 1 = 2$ ; $f (- 2) = 12 + 4 + 1 = 17$ ;
$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}$
2°)
$g (2) = - 4 + 12 = 8$ ; $g (- 1) = - 1 - 6 = - 7$ ; $g (7) = - 49 + 42 = - 7$ ;
$g (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 = \frac{11}{4}$
3°)
$g (- 1) = g (7)$ : $- 1$ et $7$ sont symétriques par rapport à $3$ , l'axe de la parabole.

$(- 2)^{2} = 4$ : le carré d'un nombre négatif est positif.

Chapitre 3 — Polynômes du second degré · coursI Fonction polynôme du second degré

Définition 1 — Fonction polynôme du second degré

Méthode 1 — Identifier les coefficients a, b et c

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 1 — Est-ce un trinôme ?

Exercice 2 — Lire les coefficients

Exercice 3 — Développer d'abord

Exercice 4 — Calculer des images

Méthode 1 — Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$