Faire des maths

Chapitre 3 — Polynômes du second degré · coursII Forme factorisée et racines

Sommaire du chapitre
  1. I — Fonction polynôme du second degré
  2. II — Forme factorisée et racines
  3. III — Le discriminant
  4. IV — Racines du trinôme et équations du second degré
  5. V — Factoriser un trinôme
  6. VI — Représentation graphique des fonctions du second degré
  7. VII — Sommet et variations de la parabole
  8. VIII — Synthèse : étudier et tracer une parabole
  9. IX — Signe d'un trinôme
  10. X — Inéquations du second degré
  11. XI — Intersection d'une parabole et d'une droite
  12. XII — Position relative de deux courbes
  13. XIII — Problèmes du second degré

Définition 2 — Forme factorisée, racines

Une fonction , avec , est un trinôme écrit sous forme factorisée : par exemple .

Les racines d'un polynôme sont les solutions de  : ce sont les abscisses des points où sa courbe coupe l'axe des abscisses.

Propriété 1 — Racines et forme factorisée

Les racines de sont et (éventuellement égales) : elles se lisent sans calcul, en changeant le signe. Dans , la racine est  ; dans , elle est .

Démonstration. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul ; comme , équivaut à ou .

Méthode 2 — Développer une forme factorisée, lire les racines

Exemples corrigés

  1. a)
    Développer et donner ses racines.
  2. b)
    Même question pour .
  3. c)
    Résoudre , puis .
Correction

a)

on développe d'abord les deux parenthèses
puis on multiplie par
Racines : et .
on annule chaque parenthèse

b)

identité remarquable
Une seule racine,  : on dit qu'elle est double.

c)

  et   .
produit nul ; le facteur (ou ) ne s'annule jamais

À vous de jouer

Développer, puis donner les racines :

Correction

quatre produits
Racines : et .
on annule chaque parenthèse

on développe d'abord les deux parenthèses
puis on multiplie par
Racines : et .
le facteur ne s'annule jamais

identité remarquable
Une seule racine,  : elle est double.
À faire : exercices 5 à 8

Exercice 5 — De la forme factorisée à la forme développée

Développer et réduire.

  1. A
  2. B
  3. C
  4. D
Corrigé

On développe les deux parenthèses, puis on multiplie par .

Exercice 6 — Équations produit

Résoudre dans  :

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
Corrigé
  1. a)
  2. b)
    ou  :
  3. c)
     :
  4. d)
    ou  :

Le facteur (ou ) ne s'annule jamais : il n'intervient pas.

Exercice 7 — Lire les racines

Donner les racines de chaque fonction, sans calcul.

  1. A
  2. B
  3. C
  4. D
  5. E
  6. F
  7. G
  8. H
Corrigé
 :  :
 :  :
 : (double) :
 :  :

Pour , donne  : ce n'est pas .

Exercice 8 — Les deux formes d'une même fonction

Soit la fonction définie sur par .

  1. 1)
    Développer et réduire .
  2. 2)
    Calculer avec chacune des deux formes.
  3. 3)
    Donner les racines de , puis résoudre .
  4. 4)
    est-elle une fonction polynôme du second degré ? Donner .
Corrigé
  1. 1°)
  2. 2°)
    Forme factorisée :  ; forme développée : .
  3. 3°)
    Racines et  : .
  4. 4°)
    Oui, avec .