Chapitre 3 — Polynômes du second degré · coursVI Représentation graphique des fonctions du second degré

Sommaire du chapitre

I — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 1 — Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$
II — Forme factorisée et racines
- Méthode 2 — Développer une forme factorisée, lire les racines
III — Le discriminant
- Méthode 3 — Calculer un discriminant
IV — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 4 — Résoudre une équation du second degré
V — Factoriser un trinôme
- Méthode 5 — Factoriser un trinôme
VI — Représentation graphique des fonctions du second degré
- Méthode 6 — Tracer une parabole à partir d'un tableau de valeurs
VII — Sommet et variations de la parabole
- Méthode 7 — Trouver le sommet, dresser le tableau de variations
VIII — Synthèse : étudier et tracer une parabole
- Méthode 8 — Étude complète d'une fonction du second degré
IX — Signe d'un trinôme
- Méthode 9 — Dresser le tableau de signes d'un trinôme
X — Inéquations du second degré
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation du second degré
XI — Intersection d'une parabole et d'une droite
- Méthode 11 — Trouver les points d'intersection
XII — Position relative de deux courbes
- Méthode 12 — Étudier la position relative de deux courbes
XIII — Problèmes du second degré
- Méthode 13 — Résoudre un problème du second degré

Propriété 2 — La parabole et son sens

La courbe d'un trinôme est une parabole. Son sens dépend du signe de $a$ : si $a > 0$ , elle est tournée vers le haut (un « creux ») ; si $a < 0$ , vers le bas (une « bosse »).

$a > 0$ : $f (x) = x^{2} - 4$

$a < 0$ : $g (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

Propriété 3 — Racines et axe des abscisses

Les racines sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses : deux points si $Δ > 0$ ; un seul si $Δ = 0$ (la parabole touche l'axe) ; aucun si $Δ < 0$ .

$Δ > 0$ : $x^{2} + 2 x - 3$

$Δ = 0$ : $x^{2} + 2 x + 1$

$Δ < 0$ : $x^{2} + 2 x + 3$ , aucune racine

Méthode 6 — Tracer une parabole à partir d'un tableau de valeurs

Exemples corrigés

Dresser un tableau de valeurs, puis tracer la courbe de :

a)
$f (x) = - x^{2} - 2 x + 3$ sur $[- 4; 2]$ ;
b)
$g (x) = x^{2} - 4 x$ sur $[- 1; 5]$ .

Correction

a = - 1 < 0

: une « bosse ».

le signe de

a

servira de contrôle

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

On place les points et on les relie à main levée, par une courbe arrondie.

les valeurs se répondent de part et d'autre de

x = - 1

: symétrie

a = 1 > 0

: un « creux ». Racines :

x (x - 4) = 0

, soit

0

4

les points sur l'axe des abscisses

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$g (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

À vous de jouer

Dresser un tableau de valeurs, puis tracer la courbe de $h (x) = - x^{2} + 4 x$ sur $[- 1; 5]$ . Où coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

Correction

a = - 1 < 0

: une « bosse ».

le signe de

a

sert de contrôle

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$h (x)$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

La courbe coupe l'axe des abscisses en

0

et en

4

là où

h (x) = 0

; contrôle :

- x^{2} + 4 x = x (4 - x)

À faire : exercices 21 à 24

Exercice 21 — Tableau de valeurs et tracé

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 3; 2]$ par $f (x) = x^{2} + x - 2$ .

1)
Quel est le signe de $a$ ? La parabole est-elle un creux ou une bosse ?
2)
Calculer les racines de $f$ .
3)
Recopier et compléter le tableau de valeurs :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$

4)
Placer les points et tracer la courbe dans le repère ci-dessous.

Corrigé

1°) $a = 1 > 0$ : $un creux$ .

2°) $Δ = 1 + 8 = 9$ : racines $\frac{- 1 - 3}{2} = - 2$ et $\frac{- 1 + 3}{2} = 1$ .

3°)

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$4$	$0$	$- 2$	$- 2$	$0$	$4$

4°)

Le tableau est symétrique par rapport à $x = - \frac{1}{2}$ : $f (- 1) = f (0)$ , $f (- 2) = f (1)$ . On relie à main levée, sans ligne brisée.

Exercice 22 — Un deuxième tracé

Même travail avec la fonction $g$ définie sur $[0; 4]$ par $g (x) = - x^{2} + 4 x - 3$ : signe de $a$ , racines, tableau de valeurs par pas de $1$ , puis tracé dans un repère orthonormé.

Corrigé

$a = - 1 < 0$ : une bosse.

$Δ = 16 - 12 = 4$ : racines $1$ et $3$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g (x)$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

Exercice 23 — Associer une courbe à une fonction

On donne quatre fonctions :

f (x) = x^{2} - 1

g (x) = - x^{2} + 3

h (x) = x^{2} + 1

k (x) = (x + 1)^{2}

1)
Pour chacune, donner le signe de $a$ et le nombre de racines.
2)
Associer chaque fonction à sa courbe.

Corrigé

1°)
$f$ : $a > 0$ , deux racines ( $\pm 1$ ) ; $g$ : $a < 0$ , deux racines ( $\pm 3$ ) ;
$h$ : $a > 0$ , aucune racine ; $k$ : $a > 0$ , une racine double ( $- 1$ ).
2°)
Courbe 1 : $g$ (une bosse) ; courbe 2 : $k$ (touche l'axe en $- 1$ ) ;
courbe 3 : $f$ (coupe l'axe en $\pm 1$ ) ; courbe 4 : $h$ (au-dessus de l'axe).

Exercice 24 — Sans tracer

Dire, en une ligne de calcul, en combien de points la parabole coupe l'axe des abscisses.

A $=$
$x^{2} - 8 x + 16$
B $=$
$3 x^{2} + x + 4$
C $=$
$- x^{2} + 2 x + 8$
D $=$
$2 x^{2} - 18$
E $=$
$- 9 x^{2} + 6 x - 1$
F $=$
$x^{2} + 4 x + 6$

Corrigé

f

Δ = 0

1 point

g

Δ = - 47

0

h

Δ = 36

2

k

Δ = 144

2

l

Δ = 0

1

m

Δ = - 8

0