Chapitre 3 — Polynômes du second degré · coursIV Racines du trinôme et équations du second degré

Sommaire du chapitre

I — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 1 — Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$
II — Forme factorisée et racines
- Méthode 2 — Développer une forme factorisée, lire les racines
III — Le discriminant
- Méthode 3 — Calculer un discriminant
IV — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 4 — Résoudre une équation du second degré
V — Factoriser un trinôme
- Méthode 5 — Factoriser un trinôme
VI — Représentation graphique des fonctions du second degré
- Méthode 6 — Tracer une parabole à partir d'un tableau de valeurs
VII — Sommet et variations de la parabole
- Méthode 7 — Trouver le sommet, dresser le tableau de variations
VIII — Synthèse : étudier et tracer une parabole
- Méthode 8 — Étude complète d'une fonction du second degré
IX — Signe d'un trinôme
- Méthode 9 — Dresser le tableau de signes d'un trinôme
X — Inéquations du second degré
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation du second degré
XI — Intersection d'une parabole et d'une droite
- Méthode 11 — Trouver les points d'intersection
XII — Position relative de deux courbes
- Méthode 12 — Étudier la position relative de deux courbes
XIII — Problèmes du second degré
- Méthode 13 — Résoudre un problème du second degré

Théorème 1 — Les trois cas

Pour l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ (avec $a \neq = 0$ ) et $Δ = b^{2} - 4 a c$ :

si $Δ > 0$ : deux solutions, $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ ;
si $Δ = 0$ : une seule solution, la racine double $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ ;
si $Δ < 0$ : aucune solution ( $Δ$ n'existe pas).

Méthode 4 — Résoudre une équation du second degré

Exemples corrigés

Résoudre dans $R$ :

a)
$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$
b)
$x^{2} + 6 x + 9 = 0$
c)
$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$
d)
$3 x^{2} + x - 5 = 2 x^{2} + 7$
e)
$x^{2} - 9 = 0$ ; $2 x^{2} + 10 x = 0$ ; $x^{2} = 5$

Correction

Δ

= 5^{2} - 4 \times 2 \times (- 3)

a = 2

b = 5

c = - 3

Δ

= 49

Δ > 0

: deux solutions ;

49 = 7

x_{1}

= \frac{- 5 - 7}{4} = - 3

2 a = 4

x_{2}

= \frac{- 5 + 7}{4} = \frac{1}{2}

S = {- 3; \frac{1}{2}}

Δ

= 6^{2} - 4 \times 1 \times 9

Δ

= 0

une seule solution

x_{0}

= \frac{- 6}{2} = - 3

x_{0} = \frac{- b}{2 a}

S = {- 3}

Δ

= (- 3)^{2} - 4 \times 2 \times 4

Δ

= - 23

9 - 32

Δ < 0

S = \emptyset

aucune solution

3 x^{2} + x - 5

= 2 x^{2} + 7

on recopie

x^{2} + x - 12

= 0

tout dans le membre de gauche

Δ

= 1^{2} - 4 \times 1 \times (- 12)

Δ

= 49

x_{1}

= \frac{- 1 - 7}{2} = - 4

x_{2}

= \frac{- 1 + 7}{2} = 3

S = {- 4; 3}

Ces trois équations se résolvent sans

Δ

plus rapide et plus sûr que le discriminant

x^{2} - 9

= 0

on recopie

(x - 3) (x + 3)

= 0

différence de deux carrés

x - 3

= 0 ou x + 3 = 0

produit nul

S = {- 3; 3}

2 x^{2} + 10 x

= 0

on recopie

2 x (x + 5)

= 0

pas de nombre seul : facteur commun

2 x

2 x

= 0 ou x + 5 = 0

produit nul

S = {- 5; 0}

x^{2}

= 5

pas de terme en

x

x^{2}

est déjà isolé

x

= - 5 ou x = 5

5 > 0

: deux solutions

S = {- 5; 5}

À vous de jouer

Résoudre dans $R$ :

x^{2} - 7 x + 10 = 0

3 x^{2} - 2 x + 2 = 0

9 x^{2} + 6 x + 1 = 0

x^{2} - 6 x = 0

Correction

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$

Δ

= (- 7)^{2} - 4 \times 1 \times 10

a = 1

b = - 7

c = 10

Δ

= 9

Δ > 0

: deux solutions ;

9 = 3

x_{1}

= \frac{7 - 3}{2} = 2

x_{2}

= \frac{7 + 3}{2} = 5

S = {2; 5}

$3 x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Δ

= (- 2)^{2} - 4 \times 3 \times 2

Δ

= - 20

4 - 24

Δ < 0

S = \emptyset

aucune solution

$9 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

Δ

= 6^{2} - 4 \times 9 \times 1

Δ

= 0

une seule solution

x_{0}

= \frac{- 6}{18} = - \frac{1}{3}

x_{0} = \frac{- b}{2 a}

S = {- \frac{1}{3}}

$x^{2} - 6 x = 0$

x (x - 6)

= 0

pas de

c

: on factorise par

x

x

= 0 ou x - 6 = 0

S = {0; 6}

À faire : exercices 12 à 16

Exercice 12 — Deux racines

Résoudre dans $R$ . Le discriminant est à chaque fois un carré parfait.

a)
$x^{2} - 2 x - 15 = 0$
b)
$2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$
c)
$3 x^{2} - 8 x + 5 = 0$
d)
$- x^{2} + 7 x - 12 = 0$

Corrigé

a) $Δ = 4 + 60 = 64$ :

x_{1}

= \frac{2 - 8}{2} = - 3 x_{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5

$S = {- 3; 5}$

b) $Δ = 9 + 16 = 25$ :

x_{1}

= \frac{- 3 - 5}{4} = - 2 x_{2} = \frac{- 3 + 5}{4} = \frac{1}{2}

$S = {- 2; \frac{1}{2}}$

c) $Δ = 64 - 60 = 4$ :

x_{1}

= \frac{8 - 2}{6} = 1 x_{2} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{5}{3}

$S = {1; \frac{5}{3}}$

d) $Δ = 49 - 48 = 1$ :

x_{1}

= \frac{- 7 - 1}{- 2} = 4 x_{2} = \frac{- 7 + 1}{- 2} = 3

$S = {3; 4}$

Avec $a < 0$ , le dénominateur $2 a$ est négatif : attention aux signes.

Exercice 13 — Les trois cas

Résoudre dans $R$ , en précisant à chaque fois le cas.

a)
$4 x^{2} - 20 x + 25 = 0$
b)
$x^{2} + 2 x + 4 = 0$
c)
$- 3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$
d)
$x^{2} + 8 x + 16 = 0$
e)
$6 x^{2} + x - 2 = 0$
f)
$- 2 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Corrigé

a)
$Δ = 400 - 400 = 0$ ; $x_{0} = \frac{20}{8}$ : $S = {\frac{5}{2}}$
b)
$Δ = 4 - 16 = - 12 < 0$ : $S = \emptyset$
c)
$Δ = 4 - 60 = - 56 < 0$ : $S = \emptyset$
d)
$Δ = 64 - 64 = 0$ ; $x_{0} = \frac{- 8}{2}$ : $S = {- 4}$
e)
$Δ = 1 + 48 = 49$ ; $\frac{- 1 - 7}{12}$ et $\frac{- 1 + 7}{12}$ :
$S = {- \frac{2}{3}; \frac{1}{2}}$
f)
$Δ = 25 - 16 = 9$ ; $\frac{- 5 - 3}{- 4}$ et $\frac{- 5 + 3}{- 4}$ : $S = {\frac{1}{2}; 2}$

Exercice 14 — Sans discriminant

Résoudre dans $R$ sans calculer de discriminant.

a)
$x^{2} - 7 = 0$
b)
$2 x^{2} - 9 x = 0$
c)
$x^{2} - 64 = 0$
d)
$9 x^{2} - 4 = 0$
e)
$3 x^{2} + 12 x = 0$
f)
$x^{2} + 9 = 0$

Corrigé

a)
$x^{2} = 7$ : $S = {- 7; 7}$
b)
$x (2 x - 9) = 0$ : $S = {0; \frac{9}{2}}$
c)
$(x - 8) (x + 8) = 0$ : $S = {- 8; 8}$
d)
$(3 x - 2) (3 x + 2) = 0$ : $S = {- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}}$
e)
$3 x (x + 4) = 0$ : $S = {- 4; 0}$
f)
$x^{2} = - 9$ , impossible : $S = \emptyset$

Pas de terme constant : facteur commun $x$ . Pas de terme en $x$ : on isole $x^{2}$ .

Exercice 15 — Tout ramener d'un côté

Résoudre dans $R$ :

a)
$3 x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} + 7$
b)
$x (x + 3) = - (2 x + 6)$
c)
$x^{2} - 3 x + 7 = 5$
d)
$(x + 2) (x - 3) = 6$

Corrigé

a)
$x^{2} + 2 x - 8 = 0$ ; $Δ = 36$ : $S = {- 4; 2}$
b)
$x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = 0$ , soit $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ ; $Δ = 1$ :
$S = {- 3; - 2}$
c)
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ; $Δ = 1$ : $S = {1; 2}$
d)
$x^{2} - x - 6 - 6 = 0$ , soit $x^{2} - x - 12 = 0$ ; $Δ = 49$ :
$S = {- 3; 4}$

En d), on ne résout pas « $x + 2 = 6$ ou $x - 3 = 6$ » : le produit vaut $6$ , pas $0$ .

Exercice 16 — Racines d'une fonction

Déterminer les racines de chaque fonction, si elle en a.

a)
$f (x) = x^{2} - 9 x + 20$
b)
$g (x) = - 3 x^{2} + 3 x + 18$
c)
$h (x) = x^{2} + 4 x + 7$
d)
$k (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$

Corrigé

a)
$Δ = 81 - 80 = 1$ : $4 et 5$
b)
$Δ = 9 + 216 = 225$ ; $\frac{- 3 - 15}{- 6}$ et $\frac{- 3 + 15}{- 6}$ : $3 et - 2$
c)
$Δ = 16 - 28 = - 12 < 0$ : $aucune racine$
d)
$Δ = 36 - 36 = 0$ : $\frac{1}{3}$ (racine double)

En b), on peut aussi diviser par $- 3$ : $x^{2} - x - 6 = 0$ , même racines.