Faire des maths

Chapitre 3 — Polynômes du second degré · coursXIII Problèmes du second degré

Sommaire du chapitre
  1. I — Fonction polynôme du second degré
  2. II — Forme factorisée et racines
  3. III — Le discriminant
  4. IV — Racines du trinôme et équations du second degré
  5. V — Factoriser un trinôme
  6. VI — Représentation graphique des fonctions du second degré
  7. VII — Sommet et variations de la parabole
  8. VIII — Synthèse : étudier et tracer une parabole
  9. IX — Signe d'un trinôme
  10. X — Inéquations du second degré
  11. XI — Intersection d'une parabole et d'une droite
  12. XII — Position relative de deux courbes
  13. XIII — Problèmes du second degré

Méthode 13 — Résoudre un problème du second degré

Exemples corrigés

  1. a)
    Un enclos. Contre un mur, on clôt un enclos rectangulaire avec  m de grillage, le mur formant un côté. Quelles dimensions donnent la plus grande aire ?
  2. b)
    Une fusée de modélisme. Lancée du sol, elle est à la hauteur (en mètres) au bout de secondes. Quelle hauteur maximale atteint-elle ? Quand retombe-t-elle ? Combien de temps reste-t-elle à plus de  m ?
Correction

a)

Soit (en m) un côté perpendiculaire au mur ; l'autre côté mesure , avec .
inconnue, et ses valeurs possibles

l'aire en fonction de
 : maximum au sommet
L'enclos le plus grand mesure  m sur  m : .
retour à l'énoncé : est bien entre et

b)

 : maximum au sommet
Hauteur maximale :  m, au bout de  s.
au sol :
Elle retombe au bout de  s.
est l'instant du lancement
on divise par  : le sens change
Racines et  : , soit  s au-dessus de  m.
 : négatif entre les racines

À vous de jouer

  1. 1°)
    Contre un mur, on clôt un enclos rectangulaire avec  m de grillage, le mur formant un côté. Quelles dimensions donnent la plus grande aire ?
  2. 2°)
    Un projectile est à la hauteur (en m) au bout de secondes. Quelle est sa hauteur maximale ? Quand touche-t-il le sol ? Combien de temps reste-t-il à plus de  m ?
Correction

1°)

Soit (en m) un côté perpendiculaire au mur ; l'autre côté mesure , avec .
inconnue, et ses valeurs possibles
l'aire en fonction de
 : maximum au sommet
L'enclos le plus grand mesure  m sur  m : .
retour à l'énoncé : est bien entre et

2°)

 : maximum au sommet
Hauteur maximale :  m, au bout de  s.
au sol :
on divise par
Le projectile touche le sol au bout de  s.
on rejette  : le temps est positif
on divise par  : le sens change
Racines et  : , soit  s au-dessus de  m.
 : négatif entre les racines
À faire : exercices 47 à 49

Exercice 47 — Une aire imposée

Un rectangle a pour périmètre  cm. On note sa longueur, en cm.

  1. 1)
    Entre quelles valeurs varie-t-il ?
  2. 2)
    Exprimer la largeur, puis l'aire, en fonction de .
  3. 3)
    On veut une aire supérieure à . Écrire l'inéquation, la résoudre, et conclure.
Corrigé
  1. 1°)
    Le demi-périmètre vaut  : .
  2. 2°)
    Largeur  ; aire .
  3. 3°)
    , soit  ; racines et  : . La longueur doit être strictement comprise entre et  cm.

Exercice 48 — Une trajectoire

Un projectile est lancé depuis le toit d'un bâtiment. Sa hauteur, en mètres, au bout de secondes est

  1. 1)
    De quelle hauteur part le projectile ?
  2. 2)
    Quelle hauteur maximale atteint-il, et à quel instant ?
  3. 3)
    À quel instant touche-t-il le sol ?
  4. 4)
    Pendant combien de temps est-il plus haut que son point de départ ?
Corrigé
  1. 1°)
    .
  2. 2°)
     ; , au bout de  s.
  3. 3°)
    , soit  ; racines et  ; on garde .
  4. 4°)
    , soit , soit  : , soit .

Diviser par change le sens d'une inégalité.

Exercice 49 — Un atelier

Un atelier fabrique pièces par jour, avec . Le coût de production, en euros, est , et la recette .

  1. 1)
    Montrer que le bénéfice est .
  2. 2)
    Pour quelles productions l'atelier fait-il un bénéfice ?
  3. 3)
    Quelle production rend le bénéfice maximal ? Combien vaut-il ?
Corrigé
  1. 1°)
    .
  2. 2°)
     ; racines et  ;  : pour .
  3. 3°)
    et  : .