Chapitre 3 — Polynômes du second degré · coursXII Position relative de deux courbes

Sommaire du chapitre

I — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 1 — Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$
II — Forme factorisée et racines
- Méthode 2 — Développer une forme factorisée, lire les racines
III — Le discriminant
- Méthode 3 — Calculer un discriminant
IV — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 4 — Résoudre une équation du second degré
V — Factoriser un trinôme
- Méthode 5 — Factoriser un trinôme
VI — Représentation graphique des fonctions du second degré
- Méthode 6 — Tracer une parabole à partir d'un tableau de valeurs
VII — Sommet et variations de la parabole
- Méthode 7 — Trouver le sommet, dresser le tableau de variations
VIII — Synthèse : étudier et tracer une parabole
- Méthode 8 — Étude complète d'une fonction du second degré
IX — Signe d'un trinôme
- Méthode 9 — Dresser le tableau de signes d'un trinôme
X — Inéquations du second degré
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation du second degré
XI — Intersection d'une parabole et d'une droite
- Méthode 11 — Trouver les points d'intersection
XII — Position relative de deux courbes
- Méthode 12 — Étudier la position relative de deux courbes
XIII — Problèmes du second degré
- Méthode 13 — Résoudre un problème du second degré

Propriété 5 — Position relative

Pour comparer les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ , on étudie le signe de la différence $d (x) = f (x) - g (x)$ : là où $d (x) > 0$ , $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ ; là où $d (x) < 0$ , elle est au-dessous ; là où $d (x) = 0$ , les courbes se coupent.

Méthode 12 — Étudier la position relative de deux courbes

Exemples corrigés

Étudier la position relative des courbes de $f$ et de $g$ :

a)
$f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ et $g (x) = x - 1$ ;
b)
$f (x) = - x^{2} + 4 x + 2$ et $g (x) = x^{2} - 2 x - 6$ .

Correction

d (x)

= - x^{2} + 6 x - 5 - (x - 1)

on soustrait toute l'expression de

g

d (x)

= - x^{2} + 5 x - 4

Δ = 25 - 16 = 9

; racines

1

4

;

a < 0

C_{f}

est au-dessus de la droite sur

] 1; 4 [

, au-dessous ailleurs ; elles se coupent en

(1; 0)

(4; 3)

on conclut par une phrase

d (x)

= - x^{2} + 4 x + 2 - (x^{2} - 2 x - 6)

d (x)

= - 2 x^{2} + 6 x + 8

-

change tous les signes de

g (x)

Δ = 36 + 64 = 100

; racines

\frac{- 6 - 10}{- 4} = 4

\frac{- 6 + 10}{- 4} = - 1

;

a < 0

C_{f}

est au-dessus de

C_{g}

sur

] - 1; 4 [

, au-dessous ailleurs ; elles se coupent en

x = - 1

x = 4

À vous de jouer

Étudier la position relative des courbes de $f$ et de $g$ :

1°)
$f (x) = x^{2} + x - 1$ et $g (x) = 3 x - 1$ ;
2°)
$f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$ et $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ .

Correction

1°)

d (x)

= x^{2} + x - 1 - (3 x - 1)

on soustrait toute l'expression de

g

d (x)

= x^{2} - 2 x

d (x)

= x (x - 2)

racines

0

2

C_{f}

est au-dessous de la droite sur

] 0; 2 [

, au-dessus ailleurs ; elles se coupent en

(0; - 1)

(2; 5)

ordonnées :

g (0) = - 1

g (2) = 5

2°)

d (x)

= 3 x^{2} + 2 x - 5 - (3 x^{2} - 4 x + 1)

d (x)

= 6 x - 6

-

change tous les signes ; les

x^{2}

s'éliminent

6 x - 6

s'annule en

1

, positif après, négatif avant :

C_{f}

est au-dessus pour

x > 1

, au-dessous pour

x < 1

; elles se coupent en

(1; 0)

fonction affine de coefficient

6 > 0

;

f (1) = 0

À faire : exercices 44 à 46

Exercice 44 — Une parabole et une droite

Soit $f (x) = x^{2} + x - 2$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

1)
Calculer et réduire $d (x) = f (x) - g (x)$ .
2)
Étudier le signe de $d (x)$ .
3)
En déduire la position relative de $C_{f}$ et de la droite $C_{g}$ .

Corrigé

1°)
$d (x) = x^{2} + x - 2 - (3 x - 2) = x^{2} - 2 x$
2°)
$d (x) = x (x - 2)$ : racines $0$ et $2$ , $a > 0$ : $+$ , $-$ , $+$ .
3°)
$C_{f}$ est $au-dessus$ de la droite sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 2; + \infty [$ , $au-dessous$ sur $] 0; 2 [$ ; elles se coupent en $(0; - 2)$ et $(2; 4)$ .

Exercice 45 — Trois situations

Étudier la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ .

a)
$f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ et $g (x) = x + 1$
b)
$f (x) = - x^{2} + 3 x + 1$ et $g (x) = x + 1$
c)
$f (x) = x^{2} + 3 x + 1$ et $g (x) = 5 x$

Corrigé

a)
$d (x) = x^{2} - 5 x + 4$ , racines $1$ et $4$ : $C_{f}$ au-dessous sur $] 1; 4 [$ , au-dessus ailleurs.
b)
$d (x) = - x^{2} + 2 x = - x (x - 2)$ : $C_{f}$ au-dessus sur $] 0; 2 [$ , au-dessous ailleurs.
c)
$d (x) = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} ⩾ 0$ : $C_{f}$ toujours au-dessus, sauf en $x = 1$ où elles se touchent.

Exercice 46 — Deux paraboles

Étudier la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ .

a)
$f (x) = x^{2} + x + 1$ et $g (x) = - x^{2} + 4 x + 3$
b)
$f (x) = 3 x^{2} + x - 2$ et $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$
c)
$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$ et $g (x) = x^{2} + 5 x + 2$

Corrigé

a)
$d (x) = 2 x^{2} - 3 x - 2$ , $Δ = 25$ , racines $- \frac{1}{2}$ et $2$ : $C_{f}$ au-dessous sur $] - \frac{1}{2}; 2 [$ , au-dessus ailleurs.
b)
$d (x) = 6 x - 6$ : $C_{f}$ au-dessus pour $x > 1$ , au-dessous pour $x < 1$ .
c)
$d (x) = x^{2} - 2 x - 3$ , racines $- 1$ et $3$ : $C_{f}$ au-dessous sur $] - 1; 3 [$ , au-dessus ailleurs.

On soustrait toute l'expression de $g$ : la parenthèse est indispensable.