Chapitre 3 — Polynômes du second degré · coursVIII Synthèse : étudier et tracer une parabole

Sommaire du chapitre

I — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 1 — Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$
II — Forme factorisée et racines
- Méthode 2 — Développer une forme factorisée, lire les racines
III — Le discriminant
- Méthode 3 — Calculer un discriminant
IV — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 4 — Résoudre une équation du second degré
V — Factoriser un trinôme
- Méthode 5 — Factoriser un trinôme
VI — Représentation graphique des fonctions du second degré
- Méthode 6 — Tracer une parabole à partir d'un tableau de valeurs
VII — Sommet et variations de la parabole
- Méthode 7 — Trouver le sommet, dresser le tableau de variations
VIII — Synthèse : étudier et tracer une parabole
- Méthode 8 — Étude complète d'une fonction du second degré
IX — Signe d'un trinôme
- Méthode 9 — Dresser le tableau de signes d'un trinôme
X — Inéquations du second degré
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation du second degré
XI — Intersection d'une parabole et d'une droite
- Méthode 11 — Trouver les points d'intersection
XII — Position relative de deux courbes
- Méthode 12 — Étudier la position relative de deux courbes
XIII — Problèmes du second degré
- Méthode 13 — Résoudre un problème du second degré

L'étude complète d'un trinôme, demandée dans les exercices et les devoirs, rassemble tout ce qui précède : sens de la parabole, sommet, racines, variations, puis tracé.

Méthode 8 — Étude complète d'une fonction du second degré

Exemples corrigés

Étudier la fonction $f (x) = - x^{2} + x + 2$ sur $[- 2; 3]$ , puis tracer sa courbe.

Correction

Résolution

a = - 1 < 0

: une bosse.

sens

α

= - \frac{1}{2 \times ( - 1 )} = \frac{1}{2}

sommet

β

= - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{4}

β = f (\frac{1}{2}) = 2, 25

Δ

= 1^{2} - 4 \times (- 1) \times 2 = 9

racines

x_{1}

= \frac{- 1 - 3}{- 2} = 2

x_{2}

= \frac{- 1 + 3}{- 2} = - 1

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 4$	$0$	$2$	$2$	$0$	$- 4$

On place les points et le sommet, puis on relie, symétriquement par rapport à

x = \frac{1}{2}

tracé (méthode 6)

À vous de jouer

Faire la même étude pour $g (x) = x^{2} - x - 2$ sur $[- 2; 3]$ , puis tracer sa courbe.

Correction

a = 1 > 0

: un creux.

sens

α

= - \frac{- 1}{2 \times 1} = \frac{1}{2}

sommet

β

= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2

β = g (\frac{1}{2})

β

= - \frac{9}{4}

soit

- 2, 25

Δ

= (- 1)^{2} - 4 \times 1 \times (- 2) = 9

racines

x_{1}

= \frac{1 - 3}{2} = - 1

x_{2}

= \frac{1 + 3}{2} = 2

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g (x)$	$4$	$0$	$- 2$	$- 2$	$0$	$4$

On place les points et le sommet, puis on relie, symétriquement par rapport à

x = \frac{1}{2}

tracé

À faire : exercices 29 à 31

Exercice 29 — Étude complète

Faire l'étude complète de la fonction $f$ définie sur $[- 2; 4]$ par $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ , puis tracer sa courbe dans un repère orthonormé.

Corrigé

$a = 1 > 0$ : un creux. $α = 1$ , $β = - 4$ . $Δ = 16$ : racines $- 1$ et $3$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Exercice 30 — Étude complète

Même travail avec la fonction $g$ définie sur $[- 3; 2]$ par $g (x) = - x^{2} - x + 2$ .

Corrigé

$a = - 1 < 0$ : une bosse. $α = - \frac{1}{2}$ , $β = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{4}$ . $Δ = 1 + 8 = 9$ : racines $- 2$ et $1$ .

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$g (x)$	$- 4$	$0$	$2$	$2$	$0$	$- 4$

Exercice 31 — Étude complète

Même travail avec la fonction $h$ définie sur $[- 2; 1]$ par $h (x) = 2 x^{2} + 2 x - 4$ . Vérifier que la courbe passe par les points d'ordonnée $0$ calculés.

Corrigé

$a = 2 > 0$ : un creux. $α = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$ , $β = \frac{1}{2} - 1 - 4 = - \frac{9}{2}$ . $Δ = 4 + 32 = 36$ : racines $\frac{- 2 - 6}{4} = - 2$ et $\frac{- 2 + 6}{4} = 1$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$h (x)$	$0$	$- 4$	$- 4$	$0$

La courbe passe bien par $(- 2; 0)$ et $(1; 0)$ .