Chapitre 3 — Polynômes du second degré · coursV Factoriser un trinôme

Sommaire du chapitre

I — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 1 — Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$
II — Forme factorisée et racines
- Méthode 2 — Développer une forme factorisée, lire les racines
III — Le discriminant
- Méthode 3 — Calculer un discriminant
IV — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 4 — Résoudre une équation du second degré
V — Factoriser un trinôme
- Méthode 5 — Factoriser un trinôme
VI — Représentation graphique des fonctions du second degré
- Méthode 6 — Tracer une parabole à partir d'un tableau de valeurs
VII — Sommet et variations de la parabole
- Méthode 7 — Trouver le sommet, dresser le tableau de variations
VIII — Synthèse : étudier et tracer une parabole
- Méthode 8 — Étude complète d'une fonction du second degré
IX — Signe d'un trinôme
- Méthode 9 — Dresser le tableau de signes d'un trinôme
X — Inéquations du second degré
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation du second degré
XI — Intersection d'une parabole et d'une droite
- Méthode 11 — Trouver les points d'intersection
XII — Position relative de deux courbes
- Méthode 12 — Étudier la position relative de deux courbes
XIII — Problèmes du second degré
- Méthode 13 — Résoudre un problème du second degré

Théorème 2 — Factorisation

Pour le trinôme $P (x) = a x^{2} + b x + c$ et $Δ = b^{2} - 4 a c$ :

si $Δ > 0$ : $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ;
si $Δ = 0$ : $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$ ;
si $Δ < 0$ : $P$ ne se factorise pas.

On n'oublie pas le coefficient $a$ devant les parenthèses.

Méthode 5 — Factoriser un trinôme

Exemples corrigés

Factoriser, quand c'est possible :

a)
$f (x) = 3 x^{2} - 3 x - 6$
b)
$g (x) = - 2 x^{2} - 7 x - 3$
c)
$h (x) = x^{2} + 8 x + 16$ et $k (x) = x^{2} - 2 x + 5$

Correction

Δ

= (- 3)^{2} - 4 \times 3 \times (- 6)

Δ

= 81

81 = 9

x_{1}

= \frac{3 - 9}{6} = - 1

x_{2}

= \frac{3 + 9}{6} = 2

f (x) = 3 (x + 1) (x - 2)

contrôle :

3 \times 1 \times (- 2) = - 6

, c'est bien

c

Δ

= (- 7)^{2} - 4 \times (- 2) \times (- 3)

Δ

= 25

x_{1}

= \frac{7 - 5}{- 4} = - \frac{1}{2}

- b = 7

2 a = - 4

x_{2}

= \frac{7 + 5}{- 4} = - 3

g (x) = - 2 (x + \frac{1}{2}) (x + 3)

contrôle :

- 2 \times \frac{1}{2} \times 3 = - 3

h

Δ = 64 - 64 = 0

x_{0} = - 4

h (x) = (x + 4)^{2}

Δ = 0

: un carré

k

Δ = 4 - 20 = - 16 < 0

k

ne se factorise pas.

À vous de jouer

Factoriser, quand c'est possible :

f (x) = x^{2} + x - 12

g (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12

h (x) = 2 x^{2} + x + 1

Correction

$f$

Δ

= 1^{2} - 4 \times 1 \times (- 12)

Δ

= 49

49 = 7

x_{1}

= \frac{- 1 - 7}{2} = - 4

x_{2}

= \frac{- 1 + 7}{2} = 3

f (x) = (x + 4) (x - 3)

contrôle :

4 \times (- 3) = - 12

, c'est bien

c

$g$

Δ

= 1 2^{2} - 4 \times (- 3) \times (- 12)

Δ

= 0

144 - 144

x_{0}

= \frac{- 12}{- 6} = 2

g (x) = - 3 (x - 2)^{2}

Δ = 0

: un carré, sans oublier

a = - 3

devant

$h$

Δ = 1 - 8 = - 7 < 0

h

ne se factorise pas.

À faire : exercices 17 à 20

Exercice 17 — Les racines sont données

Écrire la forme factorisée. Ne pas oublier le coefficient $a$ .

a)
$x^{2} + x - 6$ , de racines $- 3$ et $2$
b)
$3 x^{2} + 3 x - 18$ , de racines $- 3$ et $2$
c)
$- x^{2} + 5 x - 4$ , de racines $1$ et $4$
d)
$2 x^{2} - 12 x + 18$ , de racine double $3$

Corrigé

a)
$(x + 3) (x - 2)$
b)
$3 (x + 3) (x - 2)$
c)
$- (x - 1) (x - 4)$
d)
$2 (x - 3)^{2}$

Contrôle sur le terme constant : en b), $3 \times 3 \times (- 2) = - 18$ .

Exercice 18 — Factoriser

Calculer $Δ$ , puis factoriser.

A $=$
$x^{2} - 2 x - 8$
B $=$
$2 x^{2} - x - 1$
C $=$
$- x^{2} - 2 x + 3$
D $=$
$3 x^{2} - 7 x + 2$

Corrigé

a)
$Δ = 36$ , racines $- 2$ et $4$ : $(x + 2) (x - 4)$
b)
$Δ = 9$ , racines $- \frac{1}{2}$ et $1$ : $2 (x + \frac{1}{2}) (x - 1)$
c)
$Δ = 16$ , racines $1$ et $- 3$ : $- (x - 1) (x + 3)$
d)
$Δ = 25$ , racines $\frac{1}{3}$ et $2$ : $3 (x - \frac{1}{3}) (x - 2)$

En b) et d), on peut aussi écrire $(2 x + 1) (x - 1)$ et $(3 x - 1) (x - 2)$ .

Exercice 19 — Factoriser si c'est possible

Factoriser quand c'est possible ; sinon, justifier.

A $=$
$x^{2} + 4 x + 4$
B $=$
$x^{2} + 9$
C $=$
$x^{2} - 9$
D $=$
$6 x^{2} + x - 2$
E $=$
$3 x^{2} + x + 2$
F $=$
$- 3 x^{2} + 6 x - 3$

Corrigé

a)
$Δ = 0$ , racine $- 2$ : $(x + 2)^{2}$
b)
$Δ = - 36 < 0$ : $ne se factorise pas$
c)
$(x - 3) (x + 3)$
d)
$Δ = 49$ , racines $- \frac{2}{3}$ et $\frac{1}{2}$ : $6 (x + \frac{2}{3}) (x - \frac{1}{2})$
e)
$Δ = 1 - 24 = - 23 < 0$ : $ne se factorise pas$
f)
$Δ = 36 - 36 = 0$ , racine $1$ : $- 3 (x - 1)^{2}$

Exercice 20 — Racine évidente

Pour chaque trinôme $f$ , $g$ , $h$ , vérifier que le nombre indiqué est une racine, puis factoriser.

a)
$f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ , avec $1$
b)
$g (x) = 2 x^{2} + 5 x - 7$ , avec $1$
c)
$h (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 3$ , avec $- 1$

Corrigé

a)
$f (1) = 1 - 6 + 5 = 0$ . $f (x) = (x - 1) (x - x_{2})$ et $f (0) = 5 = x_{2}$ : $(x - 1) (x - 5)$
b)
$g (1) = 2 + 5 - 7 = 0$ . $g (0) = - 7$ et $g (0) = 2 \times (- 1) \times (- x_{2})$ , soit $2 x_{2}$ ; donc $x_{2} = - \frac{7}{2}$ : $2 (x - 1) (x + \frac{7}{2})$
c)
$h (- 1) = - 2 + 5 - 3 = 0$ . $h (0) = - 3$ et $h (0) = - 2 \times 1 \times (- x_{2})$ , soit $2 x_{2}$ ; donc $x_{2} = - \frac{3}{2}$ : $- 2 (x + 1) (x + \frac{3}{2})$

On vérifie en développant : le calcul du discriminant donne le même résultat.