Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursI Fonctions affines et droites

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Rappel — Fonction affine, coefficient directeur

Une fonction affine s'écrit $f (x) = m x + p$ . Sa courbe est la droite d'équation $y = m x + p$ .

$p$ est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées en $p$ .
$m$ est le coefficient directeur (la pente) : quand on avance de $1$ , on monte de $m$ (on descend si $m < 0$ ).

Si la droite passe par $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ :

m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

(ce qu’on monte, divis \overset{e}{ˊ} par ce qu’on avance).

on avance de $1$ , on monte de $2$ : $m = 2$

Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points

Exemples corrigés

Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ dans chaque cas.

a)
$A (1; 3)$ et $B (3; 7)$ .
b)
$A (- 2; 5)$ et $B (2; - 3)$ .

Correction

m

= \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

on écrit la formule

m

= \frac{7 - 3}{3 - 1}

on remplace par les coordonnées

m

= 2

\frac{4}{2} = 2

L'équation est de la forme

y = 2 x + p

. La droite passe par

A (1; 3)

on cherche maintenant

p

2 \times 1 + p

= 3

on remplace

x

par

1

y

par

3

p

= 3 - 2

p

= 1

La droite

(A B)

a pour équation

y = 2 x + 1

on remplace

m

p

m

= \frac{- 3 - 5}{2 - ( - 2 )}

attention aux signes

m

= \frac{- 8}{4}

m

= - 2

L'équation est de la forme

y = - 2 x + p

. La droite passe par

A (- 2; 5)

- 2 \times (- 2) + p

= 5

on remplace

x

par

- 2

y

par

5

4 + p

= 5

p

= 1

La droite

(A B)

a pour équation

y = - 2 x + 1

À vous de jouer

Déterminer l'équation réduite de la droite $(EF)$ dans chaque cas.

a)
$E (1; 1)$ et $F (3; 7)$ .
b)
$E (- 1; 4)$ et $F (3; - 4)$ .

Correction

m

= \frac{7 - 1}{3 - 1}

on remplace dans la formule

m

= 3

\frac{6}{2} = 3

3 \times 1 + p

= 1

la droite passe par

E (1; 1)

p

= 1 - 3

p

= - 2

La droite

(EF)

a pour équation

y = 3 x - 2

on remplace

m

p

m

= \frac{- 4 - 4}{3 - ( - 1 )}

attention aux signes

m

= - 2

\frac{- 8}{4} = - 2

- 2 \times (- 1) + p

= 4

la droite passe par

E (- 1; 4)

2 + p

= 4

p

= 2

La droite

(EF)

a pour équation

y = - 2 x + 2

À faire : exercices 1 à 4

Exercice 1 — Coefficient directeur

Pour chaque couple de points, calculer le coefficient directeur de la droite $(A B)$ .

a)
$A (1; 2)$ et $B (3; 8)$
b)
$A (- 1; 4)$ et $B (2; - 2)$
c)
$A (0; - 3)$ et $B (4; - 1)$
d)
$A (- 3; 5)$ et $B (1; 5)$

Corrigé

a)
$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$
b)
$m = \frac{- 2 - 4}{2 - ( - 1 )} = - 2$ ( $\frac{- 6}{3}$ )
c)
$m = \frac{- 1 - ( - 3 )}{4 - 0} = \frac{1}{2}$ ( $\frac{2}{4}$ )
d)
$m = \frac{5 - 5}{1 - ( - 3 )} = 0$ : la droite est horizontale.

Exercice 2 — Équation d'une droite

Pour chaque couple de points, déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ .

a)
$A (1; 1)$ et $B (2; 4)$
b)
$A (- 1; 5)$ et $B (1; 1)$
c)
$A (- 2; - 3)$ et $B (2; 5)$
d)
$A (2; 0)$ et $B (6; 2)$

Corrigé

a) $m = \frac{4 - 1}{2 - 1} = 3$ . La droite passe par $A (1; 1)$ :

3 \times 1 + p

= 1

p

= - 2

$y = 3 x - 2$

b) $m = \frac{1 - 5}{1 - ( - 1 )} = - 2$ ; avec $A$ : $- 2 \times (- 1) + p = 5$ , donc $p = 3$ : $y = - 2 x + 3$

c) $m = \frac{5 - ( - 3 )}{2 - ( - 2 )} = 2$ ; avec $A$ : $2 \times (- 2) + p = - 3$ , donc $p = 1$ : $y = 2 x + 1$

d) $m = \frac{2 - 0}{6 - 2} = \frac{1}{2}$ ; avec $A$ : $\frac{1}{2} \times 2 + p = 0$ , donc $p = - 1$ : $y = \frac{1}{2} x - 1$

On trouve $m$ d'abord, puis $p$ avec un des deux points.

Exercice 3 — Une fonction affine par deux images

1)
$f$ est affine, avec $f (2) = 7$ et $f (- 1) = - 2$ . Déterminer $f (x)$ , puis calculer $f (10)$ .
2)
$g$ est affine, avec $g (- 3) = 8$ et $g (1) = 0$ . Déterminer $g (x)$ , puis calculer $g (5)$ .

Corrigé

1°) $f (x) = m x + p$ passe par $(2; 7)$ et $(- 1; - 2)$ : $m = \frac{7 - ( - 2 )}{2 - ( - 1 )} = 3$ .

3 \times 2 + p

= 7

p

= 1

$f (x) = 3 x + 1$ et $f (10) = 30 + 1 = 31$ .

2°) $m = \frac{0 - 8}{1 - ( - 3 )} = - 2$ ; $- 2 \times 1 + p = 0$ , donc $p = 2$ : $g (x) = - 2 x + 2$ et $g (5) = - 10 + 2 = - 8$ .

Exercice 4 — Lire des équations

Lire l'équation réduite de chacune des droites $(d_{1})$ , $(d_{2})$ et $(d_{3})$ .

Corrigé

On lit $p$ sur l'axe des ordonnées, puis on avance de $1$ et on regarde de combien on monte.

a)
$(d_{1})$ : $p = - 1$ , on monte de $2$ : $y = 2 x - 1$
b)
$(d_{2})$ : $p = 3$ , on descend de $1$ : $y = - x + 3$
c)
$(d_{3})$ : $p = - 2$ , en avançant de $2$ on monte de $1$ : $y = \frac{1}{2} x - 2$