Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursII Nombre dérivé

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Définition 1 — Taux de variation, nombre dérivé

$A$ et $M$ sont les points de $C_{f}$ d'abscisses $a$ et $a + h$ .

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est $T (h) = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ : c'est le coefficient directeur de la droite $(A M)$ .
Quand $h$ se rapproche de $0$ , $M$ glisse vers $A$ et la droite $(A M)$ se rapproche de la tangente en $A$ . Son coefficient directeur se rapproche d'un nombre : c'est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ (« $f$ prime de $a$ »). On écrit

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

(« limite quand $h$ tend vers $0$ »).

$h$ grand : $(A M)$ s'écarte de la courbe

$h$ petit : $(A M)$ presque confondue avec la tangente

Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation

Exemples corrigés

Soit $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

a)
Calculer $f (3)$ , puis $f (3 + h)$ .
b)
Simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h}$ .
c)
En déduire $f^{'} (3)$ .

Correction

f (3)

= 3^{2} - 4 \times 3 + 1

on remplace

x

par

3

f (3)

= - 2

f (3 + h)

= (3 + h)^{2} - 4 (3 + h) + 1

on remplace

x

par

(3 + h)

f (3 + h)

= 9 + 6 h + h^{2} - 12 - 4 h + 1

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

, puis on développe

f (3 + h)

= h^{2} + 2 h - 2

on réduit

T (h)

= \frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h}

la formule, avec

a = 3

T (h)

= \frac{h ^{2} + 2 h - 2 - ( - 2 )}{h}

on remplace

T (h)

= \frac{h ^{2} + 2 h}{h}

- 2 + 2 = 0

T (h)

= \frac{h ( h + 2 )}{h}

on factorise par

h

, puis on simplifie

T (h)

= h + 2

Quand

h

se rapproche de

0

T (h) = h + 2

se rapproche de

2

. Donc

f^{'} (3) = 2

on remplace

h

par

0

dans le résultat simplifié

À vous de jouer

Soit $g (x) = x^{2} + x - 3$ .

a)
Calculer $g (1)$ , puis $g (1 + h)$ .
b)
Simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{g ( 1 + h ) - g ( 1 )}{h}$ .
c)
En déduire $g^{'} (1)$ .

Correction

g (1)

= 1^{2} + 1 - 3

on remplace

x

par

1

g (1)

= - 1

g (1 + h)

= (1 + h)^{2} + (1 + h) - 3

on remplace

x

par

(1 + h)

g (1 + h)

= 1 + 2 h + h^{2} + 1 + h - 3

identité remarquable

g (1 + h)

= h^{2} + 3 h - 1

on réduit

T (h)

= \frac{g ( 1 + h ) - g ( 1 )}{h}

la formule, avec

a = 1

T (h)

= \frac{h ^{2} + 3 h - 1 - ( - 1 )}{h}

on remplace

T (h)

= \frac{h ( h + 3 )}{h}

on factorise par

h

, puis on simplifie

T (h)

= h + 3

Quand

h

se rapproche de

0

T (h) = h + 3

se rapproche de

3

. Donc

g^{'} (1) = 3

on remplace

h

par

0

À faire : exercices 5 à 8

Exercice 5 — Nombre dérivé en $1$

Soit $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ .

a)
Calculer $f (1)$ , puis $f (1 + h)$ .
b)
Simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}$ .
c)
En déduire $f^{'} (1)$ .

Corrigé

a) $f (1) = 1 + 2 - 1 = 2$

f (1 + h)

= (1 + h)^{2} + 2 (1 + h) - 1

f (1 + h)

= 1 + 2 h + h^{2} + 2 + 2 h - 1

f (1 + h)

= h^{2} + 4 h + 2

T (h)

= \frac{h ^{2} + 4 h + 2 - 2}{h}

T (h)

= \frac{h ( h + 4 )}{h}

T (h)

= h + 4

c) Quand $h$ se rapproche de $0$ , $h + 4$ se rapproche de $4$ : $f^{'} (1) = 4$ .

Exercice 6 — Nombre dérivé en $2$

Soit $g (x) = 2 x^{2} - 3 x$ . Calculer $g (2)$ et $g (2 + h)$ , simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{g ( 2 + h ) - g ( 2 )}{h}$ , puis en déduire $g^{'} (2)$ .

Corrigé

$g (2) = 8 - 6 = 2$ .

g (2 + h)

= 2 (2 + h)^{2} - 3 (2 + h)

g (2 + h)

= 8 + 8 h + 2 h^{2} - 6 - 3 h

g (2 + h)

= 2 h^{2} + 5 h + 2

T (h)

= \frac{2 h ^{2} + 5 h}{h}

T (h)

= 2 h + 5

$g^{'} (2) = 5$

$2 (2 + h)^{2} = 2 (4 + 4 h + h^{2})$ : on développe le carré avant de multiplier par $2$ .

Exercice 7 — Avec un coefficient négatif

Soit $k (x) = - x^{2} + 5 x$ . Calculer $k (1)$ et $k (1 + h)$ , simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{k ( 1 + h ) - k ( 1 )}{h}$ , puis en déduire $k^{'} (1)$ .

Corrigé

$k (1) = - 1 + 5 = 4$ .

k (1 + h)

= - (1 + h)^{2} + 5 (1 + h)

k (1 + h)

= - 1 - 2 h - h^{2} + 5 + 5 h

k (1 + h)

= - h^{2} + 3 h + 4

T (h)

= \frac{- h ^{2} + 3 h}{h}

T (h)

= - h + 3

$k^{'} (1) = 3$

$- (1 + h)^{2}$ : le signe $-$ porte sur les trois termes du développement.

Exercice 8 — À la calculatrice

Soit $f (x) = x^{2}$ et $a = 4$ .

a)
Compléter le tableau, où $T (h) = \frac{f ( 4 + h ) - f ( 4 )}{h}$ .

$h$ $1$ $0, 1$ $0, 01$
$T (h)$
b)
Quelle valeur de $f^{'} (4)$ ce tableau suggère-t-il ?

Corrigé

$h$	$1$	$0, 1$	$0, 01$
$T (h)$	$9$	$8, 1$	$8, 01$

Par exemple $T (0, 1) = \frac{16 , 81 - 16}{0 , 1} = 8, 1$ . Le tableau suggère $f^{'} (4) = 8$ .

Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursII Nombre dérivé

Définition 1 — Taux de variation, nombre dérivé

Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 5 — Nombre dérivé en 1

Exercice 6 — Nombre dérivé en 2

Exercice 7 — Avec un coefficient négatif

Exercice 8 — À la calculatrice

Exercice 5 — Nombre dérivé en $1$

Exercice 6 — Nombre dérivé en $2$