Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursVI Fonction dérivée d'une fonction polynôme

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Définition 3 — Fonction dérivée

La fonction dérivée de $f$ , notée $f^{'}$ , associe à chaque nombre $x$ le nombre dérivé $f^{'} (x)$ . Plus besoin de taux de variation : on la calcule avec des formules.

Propriété 3 — Dérivées des polynômes

Fonction $f (x)$	Dérivée $f^{'} (x)$
$k$ (un nombre)	$0$
$x$	$1$
$m x + p$	$m$
$x^{2}$	$2 x$
$x^{3}$	$3 x^{2}$
$x^{n}$ ( $n = 4$ , $5$ , $6$ …)	$n x^{n - 1}$

Pour $x^{n}$ , l'exposant passe devant et on lui retire $1$ : $x^{5}$ a pour dérivée $5 x^{4}$ . On dérive terme par terme, et un nombre qui multiplie reste devant : $(5 x^{2})^{'} = 5 \times 2 x = 10 x$ .

Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme

Exemples corrigés

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$
b)
$g (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 7 x + 1$
c)
$h (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 6 x$

Correction

f^{'} (x)

= 3 \times 2 x - 5 + 0

x^{2}

devient

2 x

;

- 5 x

devient

- 5

;

4

devient

0

f^{'} (x)

= 6 x - 5

g^{'} (x)

= 2 \times 3 x^{2} + 2 x - 7 + 0

x^{3}

devient

3 x^{2}

, terme par terme

g^{'} (x)

= 6 x^{2} + 2 x - 7

h^{'} (x)

= 2 \times 4 x^{3} - 3 x^{2} + 6

x^{4}

devient

4 x^{3}

;

6 x

devient

6

h^{'} (x)

= 8 x^{3} - 3 x^{2} + 6

À vous de jouer

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$k (x) = 4 x^{2} + 3 x - 2$
b)
$m (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 2$
c)
$p (x) = x^{5} + 4 x^{3} - 2 x$

Correction

k^{'} (x)

= 4 \times 2 x + 3 + 0

terme par terme

k^{'} (x)

= 8 x + 3

m^{'} (x)

= 3 x^{2} - 5 \times 2 x + 0

terme par terme

m^{'} (x)

= 3 x^{2} - 10 x

p^{'} (x)

= 5 x^{4} + 4 \times 3 x^{2} - 2

x^{5}

devient

5 x^{4}

;

- 2 x

devient

- 2

p^{'} (x)

= 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2

À faire : exercices 18 à 22

Exercice 18 — Dériver

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 7 x - 5$
b)
$g (x) = 1 - 4 x$
c)
$h (x) = x^{2} + 6 x - 2$
d)
$k (x) = 3 x^{2} - x + 8$
e)
$m (x) = - 5 x^{2} + 10 x$
f)
$p (x) = x^{3} + 4 x^{2} - x$
g)
$q (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1$
h)
$r (x) = - x^{5} + 2 x^{3}$

Corrigé

f^{'} (x) = 7

m^{'} (x) = - 10 x + 10

g^{'} (x) = - 4

p^{'} (x) = 3 x^{2} + 8 x - 1

h^{'} (x) = 2 x + 6

q^{'} (x) = 8 x^{3} - 6 x

k^{'} (x) = 6 x - 1

r^{'} (x) = - 5 x^{4} + 6 x^{2}

Un nombre seul (le $- 5$ de $7 x - 5$ ) a pour dérivée $0$ .

Exercice 19 — Degré 3 et plus

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 1$
b)
$g (x) = x^{6} - x^{4}$
c)
$h (x) = - 2 x^{5} + x^{3} - 7 x$
d)
$k (x) = 5 - 3 x^{4}$
e)
$m (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 4 \times 3 x^{2} - 6 \times 2 x + 5 = 12 x^{2} - 12 x + 5$
b)
$g^{'} (x) = 6 x^{5} - 4 x^{3}$
c)
$h^{'} (x) = - 10 x^{4} + 3 x^{2} - 7$
d)
$k^{'} (x) = - 12 x^{3}$
e)
$m^{'} (x) = \frac{1}{3} \times 3 x^{2} - 2 = x^{2} - 2$

Exercice 20 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 6 x - 2$
b)
$g (x) = - x^{2} + 4 x - 3$
c)
$h (x) = 5 x^{3} - 2 x^{2}$
d)
$k (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x$
e)
$m (x) = - 3 x^{4} + 6 x$
f)
$p (x) = 2 x^{5} - 5 x^{2} + 3$
g)
$q (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x$
h)
$r (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$

Corrigé

f^{'} (x) = 6

m^{'} (x) = - 12 x^{3} + 6

g^{'} (x) = - 2 x + 4

p^{'} (x) = 10 x^{4} - 10 x

h^{'} (x) = 15 x^{2} - 4 x

q^{'} (x) = x + 3

k^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1

r^{'} (x) = x^{3} - 1

g) $\frac{1}{2} \times 2 x = x$ ; h) $\frac{1}{4} \times 4 x^{3} = x^{3}$ .

Exercice 21 — Développer d'abord

Développer chaque expression, puis calculer sa dérivée.

a)
$A (x) = (x - 1) (x + 4)$
b)
$B (x) = (2 x + 1) (x - 3)$
c)
$C (x) = (x + 2)^{2}$
d)
$D (x) = x (x^{2} - 5)$

Corrigé

a)
$A (x) = x^{2} + 3 x - 4$ , donc $A^{'} (x) = 2 x + 3$
b)
$B (x) = 2 x^{2} - 5 x - 3$ , donc $B^{'} (x) = 4 x - 5$
c)
$C (x) = x^{2} + 4 x + 4$ , donc $C^{'} (x) = 2 x + 4$
d)
$D (x) = x^{3} - 5 x$ , donc $D^{'} (x) = 3 x^{2} - 5$

Exercice 22 — Dérivée et tangentes

Soit $f (x) = x^{3} - 2 x + 1$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ .
b)
Calculer $f (1)$ et $f^{'} (1)$ , puis déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ .
c)
Même question au point d'abscisse $0$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$

b) $f (1) = 1 - 2 + 1 = 0$ et $f^{'} (1) = 3 - 2 = 1$ .

y

= 1 (x - 1) + 0

y

= x - 1

c) $f (0) = 1$ et $f^{'} (0) = - 2$ : $y = - 2 (x - 0) + 1$ , soit $y = - 2 x + 1$ .