Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursXIII Résoudre une équation $f (x) = k$

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Propriété 10 — Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est dérivable et strictement croissante (ou strictement décroissante) sur $[a; b]$ , et si $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors l'équation $f (x) = k$ a une seule solution $α$ dans $[a; b]$ .

La courbe monte sans sauter de $f (a)$ à $f (b)$ : elle traverse une seule fois la droite d'équation $y = k$ .

Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Exemples corrigés

Soit $f (x) = x^{3} + 2 x - 5$ sur l'intervalle $[0; 3]$ .

a)
Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0; 3]$ .
b)
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ a une seule solution $α$ dans $[0; 3]$ .
c)
Avec le tableau de valeurs de la calculatrice, encadrer $α$ entre deux nombres à un chiffre après la virgule.

Correction

f^{'} (x)

= 3 x^{2} + 2

terme par terme

Un carré est positif, donc

3 x^{2} + 2 > 0

f

est strictement croissante sur

[0; 3]

f^{'} (x) > 0

f

croît

f (0)

= - 5

les images des bornes

f (3)

= 27 + 6 - 5 = 28

f

est strictement croissante et

0

est compris entre

- 5

28

: l'équation

f (x) = 0

a une seule solution

α

dans

[0; 3]

théorème des valeurs intermédiaires

Tableau de valeurs avec un pas de

1

f (1) = - 2

f (2) = 7

. Donc

1 < α < 2

f (x)

passe de négatif à positif

Pas de

0, 1

à partir de

1

f (1, 3) = - 0, 203

f (1, 4) = 0, 544

. Donc

1, 3 < α < 1, 4

on recommence entre

1

2

À vous de jouer

Soit $g (x) = x^{3} + 3 x - 2$ sur l'intervalle $[0; 2]$ .

a)
Montrer que $g$ est strictement croissante sur $[0; 2]$ .
b)
Montrer que l'équation $g (x) = 0$ a une seule solution $α$ dans $[0; 2]$ .
c)
Avec le tableau de valeurs de la calculatrice, encadrer $α$ entre deux nombres à un chiffre après la virgule.

Correction

g^{'} (x)

= 3 x^{2} + 3

terme par terme

Un carré est positif, donc

3 x^{2} + 3 > 0

g

est strictement croissante sur

[0; 2]

g (0)

= - 2

les images des bornes

g (2)

= 8 + 6 - 2 = 12

g

est strictement croissante et

0

est compris entre

- 2

12

: l'équation

g (x) = 0

a une seule solution

α

dans

[0; 2]

théorème des valeurs intermédiaires

Pas de

1

g (0) = - 2

g (1) = 2

. Donc

0 < α < 1

g (x)

change de signe

Pas de

0, 1

à partir de

0

g (0, 5) = - 0, 375

g (0, 6) = 0, 016

. Donc

0, 5 < α < 0, 6

on recommence entre

0

1

À faire : exercices 49 à 51

Exercice 49 — Nombre de solutions

Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ dérivable sur $[- 3; 4]$ .

Pour chaque équation, donner le nombre de solutions et un intervalle qui contient chacune d'elles.

a)
$f (x) = 0$
b)
$f (x) = 3$
c)
$f (x) = - 3$
d)
$f (x) = 6$

Corrigé

Sur chaque intervalle où $f$ varie dans un seul sens, on regarde si $k$ est entre les deux valeurs extrêmes.

a)
$f (x) = 0$ : $3$ solutions, dans $] - 3; 0 [$ , $] 0; 2 [$ et $] 2; 4 [$ .
b)
$f (x) = 3$ : $2$ solutions, dans $] - 3; 0 [$ et $] 0; 2 [$ (sur $[2; 4]$ , $f$ ne dépasse pas $1$ ).
c)
$f (x) = - 3$ : $2$ solutions, dans $] 0; 2 [$ et $] 2; 4 [$ (sur $[- 3; 0]$ , $f$ reste au-dessus de $- 2$ ).
d)
$f (x) = 6$ : $0$ solution ( $6$ est plus grand que le maximum $5$ ).

Exercice 50 — Une seule solution

Soit $f (x) = x^{3} + x - 3$ sur $[0; 2]$ .

a)
Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0; 2]$ .
b)
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ a une seule solution $α$ dans $[0; 2]$ .
c)
Avec la calculatrice, encadrer $α$ entre deux nombres à un chiffre après la virgule.

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ : un carré est positif, donc $f^{'} (x) > 0$ et $f$ est strictement croissante.

b) $f (0) = - 3$ et $f (2) = 8 + 2 - 3 = 7$ : $0$ est entre $- 3$ et $7$ , donc l'équation a une seule solution $α$ .

c) $f (1) = - 1$ et $f (2) = 7$ , donc $1 < α < 2$ ; $f (1, 2) = - 0, 072$ et $f (1, 3) = 0, 497$ , donc $1, 2 < α < 1, 3$ .

Exercice 51 — Trois solutions

Soit $g (x) = x^{3} - 12 x$ sur $[- 4; 4]$ .

a)
Calculer $g^{'} (x)$ et étudier son signe.
b)
Dresser le tableau de variations de $g$ .
c)
Combien de solutions l'équation $g (x) = 5$ a-t-elle dans $[- 4; 4]$ ?
d)
Encadrer la plus grande d'entre elles entre deux nombres à un chiffre après la virgule.

Corrigé

a) $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$ ; $Δ = 0 - 4 \times 3 \times (- 12) = 144$ , racines $\frac{0 \pm 12}{6}$ : $- 2$ et $2$ . Positif à l'extérieur ( $a = 3 > 0$ ).

b) $g (- 4) = - 16$ ; $g (- 2) = 16$ ; $g (2) = - 16$ ; $g (4) = 16$ .

c) Sur chacun des trois intervalles, $g$ varie dans un seul sens entre $- 16$ et $16$ , et $5$ est entre les deux : $3$ solutions.

d) La plus grande est dans $] 2; 4 [$ : $g (3) = - 9$ et $g (4) = 16$ , donc $3 < α < 4$ ; $g (3, 6) = 3, 456$ et $g (3, 7) = 6, 253$ encadrent $5$ , donc $3, 6 < α < 3, 7$ .

Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursXIII Résoudre une équation f(x)=k

Propriété 10 — Théorème des valeurs intermédiaires

Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 49 — Nombre de solutions

Exercice 50 — Une seule solution

Exercice 51 — Trois solutions

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