Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursXII Problèmes concrets : maximum et minimum

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Propriété 9 — Extremum

Si $f^{'} (x)$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors $f$ admet en $c$ un extremum (la tangente y est horizontale) :

$+$ puis $-$ : un maximum

$-$ puis $+$ : un minimum

Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème

Exemples corrigés

Un générateur débite un courant d'intensité $I$ (en ampères), entre $0$ et $6$ A. La puissance qu'il fournit, en watts, vaut $P (I) = 12 I - 2 I^{2}$ .

a)
Calculer $P^{'} (I)$ .
b)
Dresser le tableau de variations de $P$ sur $[0; 6]$ .
c)
Pour quelle intensité la puissance est-elle maximale ? Que vaut-elle ?

Correction

P^{'} (I)

= 12 - 2 \times 2 I

la variable s'appelle

I

au lieu de

x

P^{'} (I)

= 12 - 4 I

On cherche quand

P^{'} (I)

s'annule :

12 - 4 I

= 0

- 4 I

= - 12

I

= 3

\frac{- 12}{- 4} = 3

12 - 4 I

est affine, de coefficient directeur

- 4 < 0

: positif avant

3

, négatif après.

signe d'une expression affine

P (0)

= 0

P (3)

= 36 - 18 = 18

12 \times 3 - 2 \times 3^{2}

P (6)

= 72 - 72 = 0

La puissance est maximale pour une intensité de

3

A ; elle vaut alors

18

P^{'}

s'annule en

3

en passant de

+

-

: un maximum

À vous de jouer

On lance un ballon vers le haut. Au bout de $t$ secondes (entre $0$ et $4$ s), il est à la hauteur $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 2$ , en mètres.

a)
Calculer $h^{'} (t)$ .
b)
Dresser le tableau de variations de $h$ sur $[0; 4]$ .
c)
À quel instant le ballon est-il le plus haut ? À quelle hauteur ?

Correction

h^{'} (t)

= - 5 \times 2 t + 20

la variable s'appelle

t

h^{'} (t)

= - 10 t + 20

- 10 t + 20

= 0

on cherche quand

h^{'} (t)

s'annule

- 10 t

= - 20

t

= 2

- 10 t + 20

est affine, de coefficient directeur

- 10 < 0

: positif avant

2

, négatif après.

h (0)

= 2

h (2)

= - 20 + 40 + 2 = 22

h (4)

= - 80 + 80 + 2 = 2

Le ballon est le plus haut au bout de

2

s ; il est alors à

22

un maximum :

+

puis

-

À faire : exercices 46 à 48

Exercice 46 — Un coût minimal

Une usine fabrique $q$ dizaines de pièces par jour, avec $0 ⩽ q ⩽ 25$ . Le coût de fabrication, en euros, est $C (q) = q^{2} - 30 q + 300$ .

a)
Calculer $C^{'} (q)$ .
b)
Dresser le tableau de variations de $C$ sur $[0; 25]$ .
c)
Combien de pièces faut-il fabriquer pour que le coût soit minimal ? Que vaut-il ?

Corrigé

a) $C^{'} (q) = 2 q - 30$

b) $2 q - 30 = 0$ pour $q = 15$ ; coefficient $2 > 0$ : négatif puis positif. $C (0) = 300$ ; $C (15) = 225 - 450 + 300 = 75$ ; $C (25) = 625 - 750 + 300 = 175$ .

c) Coût minimal de $75 €$ pour $q = 15$ , soit $150$ pièces.

$q$ compte des dizaines : $15$ dizaines font $150$ pièces.

Exercice 47 — La boîte la plus grande

Dans un carton carré de $12$ cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ (en cm), puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V (x) = x (12 - 2 x)^{2}$ , pour $0 ⩽ x ⩽ 6$ .

a)
Montrer que $V (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x$ .
b)
Calculer $V^{'} (x)$ .
c)
Étudier le signe de $V^{'} (x)$ sur $[0; 6]$ .
d)
Dresser le tableau de variations de $V$ .
e)
Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Que vaut-il ?

Corrigé

a) $(12 - 2 x)^{2} = 144 - 48 x + 4 x^{2}$ , donc $V (x) = x (4 x^{2} - 48 x + 144) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x$ .

b) $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 96 x + 144$

Δ

= 9 6^{2} - 4 \times 12 \times 144

Δ

= 2304

x_{1}

= \frac{96 - 48}{24} = 2

x_{2}

= \frac{96 + 48}{24} = 6

$a = 12 > 0$ : positif sur $[0; 2]$ , négatif sur $[2; 6]$ .

d) $V (0) = 0$ ; $V (2) = 2 \times 8^{2} = 128$ ; $V (6) = 0$ .

e) Volume maximal de $128 cm^{3}$ pour $x = 2 cm$ .

Exercice 48 — Le tambour d'une machine à laver

Après l'essorage, le tambour d'une machine à laver tourne librement jusqu'à l'arrêt. Au bout de $t$ secondes, il a fait $N (t) = - 0, 5 t^{2} + 20 t$ tours, pour $0 ⩽ t ⩽ 40$ . Sa vitesse de rotation, en tours par seconde, est $N^{'} (t)$ .

a)
Calculer $N^{'} (t)$ .
b)
Au bout de combien de secondes le tambour s'arrête-t-il ?
c)
Combien de tours a-t-il faits jusqu'à l'arrêt ?

Corrigé

a) $N^{'} (t) = - 0, 5 \times 2 t + 20 = - t + 20$

b) Le tambour s'arrête quand sa vitesse est nulle : $- t + 20 = 0$ , soit $t = 20 s$ .

c) $N (20) = - 0, 5 \times 400 + 400 = 200$ tours.

Entre $0$ et $20$ s, $N^{'} (t) > 0$ : le nombre de tours augmente, le tambour tourne.