Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursV Approximation affine

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Propriété 2 — La tangente remplace la courbe

Près du point d'abscisse $a$ , la courbe et sa tangente sont presque confondues : pour $x$ proche de $a$ , la fonction est à peu près égale à sa tangente. On calcule donc avec l'équation de la tangente (propriété 1) au lieu de la fonction :

f (x) ≃ le y de la tangente f^{'} (a) (x - a) + f (a) .

C'est l'approximation affine de $f$ près de $a$ ; le signe $≃$ se lit « à peu près égal à ».

dans le cercle : presque confondues

Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente

Exemples corrigés

Soit $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ . Sa tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = - 2 x$ (méthode 4).

a)
Avec la tangente, donner une valeur approchée de $f (1, 1)$ .
b)
Calculer $f (1, 1)$ et comparer.

Correction

f (1, 1)

≃ - 2 \times 1, 1

1, 1

est proche de

1

: on remplace

x

par

1, 1

dans l'équation de la tangente

f (1, 1)

≃ - 2, 2

f (1, 1)

= 1, 1^{2} - 4 \times 1, 1 + 1

on remplace

x

par

1, 1

dans

f (x)

f (1, 1)

= 1, 21 - 4, 4 + 1

f (1, 1)

= - 2, 19

L'écart entre

- 2, 2

- 2, 19

n'est que de

0, 01

: l'approximation est bonne.

plus

x

est proche de

1

, meilleure elle est

À vous de jouer

Soit $g (x) = x^{2} + x - 3$ . Sa tangente au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = 5 x - 7$ .

a)
Avec la tangente, donner une valeur approchée de $g (2, 1)$ .
b)
Calculer $g (2, 1)$ et comparer.

Correction

g (2, 1)

≃ 5 \times 2, 1 - 7

2, 1

est proche de

2

: on remplace

x

par

2, 1

dans l'équation de la tangente

g (2, 1)

≃ 3, 5

g (2, 1)

= 2, 1^{2} + 2, 1 - 3

on remplace

x

par

2, 1

dans

g (x)

g (2, 1)

= 4, 41 + 2, 1 - 3

g (2, 1)

= 3, 51

L'écart entre

3, 5

3, 51

n'est que de

0, 01

: l'approximation est bonne.

À faire : exercices 15 à 17

Exercice 15 — Le carré de $3, 02$

Soit $f (x) = x^{2}$ . Sa tangente au point d'abscisse $3$ a pour équation $y = 6 x - 9$ .

a)
Avec la tangente, donner une valeur approchée de $f (3, 02)$ , puis calculer $f (3, 02)$ et comparer.
b)
Même question pour $f (2, 99)$ .

Corrigé

a) $3, 02$ est proche de $3$ : on remplace $x$ par $3, 02$ dans $6 x - 9$ .

f (3, 02)

≃ 6 \times 3, 02 - 9

f (3, 02)

≃ 9, 12

Valeur exacte : $3, 0 2^{2} = 9, 1204$ ; écart de $0, 0004$ .

b) $f (2, 99) ≃ 6 \times 2, 99 - 9 = 8, 94$ ; exacte : $8, 9401$ .

Exercice 16 — Une fonction inverse

Soit $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ . On admet que $f^{'} (2) = - 1$ .

a)
Calculer $f (2)$ , puis déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $2$ .
b)
Avec la tangente, donner une valeur approchée de $f (2, 1)$ .
c)
Calculer $f (2, 1)$ à la calculatrice et comparer.

Corrigé

a) $f (2) = \frac{1}{2 - 1} = 1$ .

y

= - 1 (x - 2) + 1

y

= - x + 3

b) $f (2, 1) ≃ - 2, 1 + 3 = 0, 9$

c) $f (2, 1) = \frac{1}{1 , 1} ≃ 0, 909$ : écart d'environ $0, 009$ .

Exercice 17 — Une plaque qui se dilate

Une plaque carrée de côté $c$ (en cm) a pour aire $A (c) = c^{2}$ . On admet que $A^{'} (10) = 20$ . Chauffée, la plaque passe de $10$ cm à $10, 1$ cm de côté.

a)
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $A$ au point d'abscisse $10$ .
b)
En déduire une valeur approchée de l'aire de la plaque chauffée.
c)
Calculer l'aire exacte et comparer.

Corrigé

a) $A (10) = 100$ .

y

= 20 (x - 10) + 100

y

= 20 x - 100

b) $A (10, 1) ≃ 20 \times 10, 1 - 100 = 102 cm^{2}$

c) $10, 1^{2} = 102, 01$ cm $^{2}$ : l'approximation ne se trompe que de $0, 01$ cm $^{2}$ .

Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursV Approximation affine

Propriété 2 — La tangente remplace la courbe

Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 15 — Le carré de 3,02

Exercice 16 — Une fonction inverse

Exercice 17 — Une plaque qui se dilate

Exercice 15 — Le carré de $3, 02$