Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursVIII Dérivée d'un produit, d'un carré

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Propriété 5 — Produit et carré

$u$ et $v$ sont deux fonctions, de dérivées $u^{'}$ et $v^{'}$ .

Fonction	Dérivée
$u \times v$	$u^{'} \times v + u \times v^{'}$
$u^{2}$	$2 \times u^{'} \times u$

Attention : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

Méthode 8 — Dériver un produit, un carré

Exemples corrigés

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3)$
b)
$g (x) = (3 x - 2)^{2}$

Correction

u (x)

= 2 x + 1

donc

u^{'} (x) = 2

v (x)

= x^{2} - 3

donc

v^{'} (x) = 2 x

f^{'} (x)

= u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

la formule du produit

f^{'} (x)

= 2 (x^{2} - 3) + (2 x + 1) \times 2 x

on remplace

f^{'} (x)

= 2 x^{2} - 6 + 4 x^{2} + 2 x

on développe

f^{'} (x)

= 6 x^{2} + 2 x - 6

on réduit

u (x)

= 3 x - 2

donc

u^{'} (x) = 3

g^{'} (x)

= 2 \times u^{'} (x) \times u (x)

la formule du carré

g^{'} (x)

= 2 \times 3 \times (3 x - 2)

on remplace

g^{'} (x)

= 18 x - 12

on développe

6 (3 x - 2)

À vous de jouer

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$k (x) = (x + 4) (2 x^{2} - 1)$
b)
$m (x) = (5 x + 1)^{2}$

Correction

u (x)

= x + 4

donc

u^{'} (x) = 1

v (x)

= 2 x^{2} - 1

donc

v^{'} (x) = 4 x

k^{'} (x)

= u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

la formule du produit

k^{'} (x)

= 1 \times (2 x^{2} - 1) + (x + 4) \times 4 x

on remplace

k^{'} (x)

= 2 x^{2} - 1 + 4 x^{2} + 16 x

on développe

k^{'} (x)

= 6 x^{2} + 16 x - 1

on réduit

u (x)

= 5 x + 1

donc

u^{'} (x) = 5

m^{'} (x)

= 2 \times u^{'} (x) \times u (x)

la formule du carré

m^{'} (x)

= 2 \times 5 \times (5 x + 1)

on remplace

m^{'} (x)

= 50 x + 10

on développe

10 (5 x + 1)

À faire : exercices 27 à 30

Exercice 27 — Des carrés

Calculer la dérivée de chaque fonction, avec la formule de $u^{2}$ .

a)
$f (x) = (4 x + 1)^{2}$
b)
$g (x) = (2 - 5 x)^{2}$
c)
$h (x) = (x^{2} + 3)^{2}$
d)
$k (x) = (x^{3} - 1)^{2}$

Corrigé

On écrit $u$ et $u^{'}$ , puis $2 \times u^{'} \times u$ .

a)
$u = 4 x + 1$ , $u^{'} = 4$ : $f^{'} (x) = 2 \times 4 \times (4 x + 1) = 32 x + 8$
b)
$u = 2 - 5 x$ , $u^{'} = - 5$ : $g^{'} (x) = 2 \times (- 5) (2 - 5 x) = 50 x - 20$
c)
$u = x^{2} + 3$ , $u^{'} = 2 x$ : $h^{'} (x) = 2 \times 2 x (x^{2} + 3) = 4 x^{3} + 12 x$
d)
$u = x^{3} - 1$ , $u^{'} = 3 x^{2}$ : $k^{'} (x) = 2 \times 3 x^{2} (x^{3} - 1) = 6 x^{5} - 6 x^{2}$

Exercice 28 — Des produits

Calculer la dérivée de chaque fonction, avec la formule de $u \times v$ .

a)
$f (x) = (x + 2) (3 x - 1)$
b)
$g (x) = (2 x - 3) (x^{2} + 1)$
c)
$h (x) = x^{2} (4 x + 5)$
d)
$k (x) = (x^{2} - x) (x^{2} + 2)$
e)
$m (x) = x sin x$

Corrigé

a) $u = x + 2$ , $u^{'} = 1$ ; $v = 3 x - 1$ , $v^{'} = 3$ .

f^{'} (x)

= 1 \times (3 x - 1) + (x + 2) \times 3

f^{'} (x)

= 3 x - 1 + 3 x + 6

f^{'} (x)

= 6 x + 5

b) $u^{'} = 2$ ; $v^{'} = 2 x$ .

g^{'} (x)

= 2 (x^{2} + 1) + (2 x - 3) \times 2 x

g^{'} (x)

= 2 x^{2} + 2 + 4 x^{2} - 6 x

g^{'} (x)

= 6 x^{2} - 6 x + 2

c) $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ ; $v = 4 x + 5$ , $v^{'} = 4$ : $h^{'} (x) = 2 x (4 x + 5) + 4 x^{2} = 12 x^{2} + 10 x$

d) $u^{'} = 2 x - 1$ ; $v^{'} = 2 x$ .

k^{'} (x)

= (2 x - 1) (x^{2} + 2) + (x^{2} - x) \times 2 x

k^{'} (x)

= 2 x^{3} + 4 x - x^{2} - 2 + 2 x^{3} - 2 x^{2}

k^{'} (x)

= 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2

e) $u = x$ , $u^{'} = 1$ ; $v = sin x$ , $v^{'} = cos x$ : $m^{'} (x) = sin x + x cos x$

Exercice 29 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (3 x + 1) (x - 2)$
b)
$g (x) = (x + 5)^{2}$
c)
$h (x) = (x^{2} - 4) (2 x + 3)$
d)
$k (x) = (3 - x^{2})^{2}$
e)
$m (x) = x^{2} cos x$
f)
$p (x) = (2 x - 1) (x^{3} + x)$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 3 (x - 2) + (3 x + 1) \times 1 = 6 x - 5$
b)
$g^{'} (x) = 2 \times 1 \times (x + 5) = 2 x + 10$
c)
$h^{'} (x) = 2 x (2 x + 3) + (x^{2} - 4) \times 2 = 6 x^{2} + 6 x - 8$
d)
$k^{'} (x) = 2 \times (- 2 x) (3 - x^{2}) = 4 x^{3} - 12 x$
e)
$m^{'} (x) = 2 x cos x - x^{2} sin x$
f)
$p^{'} (x) = 2 (x^{3} + x) + (2 x - 1) (3 x^{2} + 1) = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1$

Exercice 30 — Deux façons de faire

Soit $f (x) = (x + 3) (2 x - 1)$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ avec la formule du produit.
b)
Développer $f (x)$ , puis le dériver.
c)
Comparer les deux résultats.

Corrigé

a) $u = x + 3$ , $u^{'} = 1$ ; $v = 2 x - 1$ , $v^{'} = 2$ .

f^{'} (x)

= 1 \times (2 x - 1) + (x + 3) \times 2

f^{'} (x)

= 4 x + 5

b) $f (x) = 2 x^{2} - x + 6 x - 3 = 2 x^{2} + 5 x - 3$ , donc $f^{'} (x) = 4 x + 5$ .

c) Les deux résultats sont égaux : développer permet de vérifier.

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : $1 \times 2 = 2$ serait faux.