Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursXI Dérivée et sens de variation

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Propriété 8 — Signe de la dérivée et variations

Sur un intervalle :

si $f^{'} (x) > 0$ , alors $f$ est croissante ;
si $f^{'} (x) < 0$ , alors $f$ est décroissante.

(Elle le reste si $f^{'}$ s'annule seulement en quelques points.) Pour trouver les variations de $f$ , on étudie donc le signe de $f^{'} (x)$ .

à gauche : tangentes qui descendent, $f$ décroît ;
à droite : tangentes qui montent, $f$ croît

Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction

Exemples corrigés

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ sur l'intervalle $[- 2; 4]$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ .
b)
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ .
c)
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Correction

f^{'} (x)

= 3 x^{2} - 3 \times 2 x - 9

terme par terme

f^{'} (x)

= 3 x^{2} - 6 x - 9

f^{'} (x)

est un trinôme :

a = 3

b = - 6

c = - 9

on cherche ses racines (chapitre 3)

Δ

= b^{2} - 4 a c

le discriminant

Δ

= (- 6)^{2} - 4 \times 3 \times (- 9)

Δ

= 144

36 + 108

;

Δ > 0

: deux racines

x_{1}

= \frac{6 - 12}{6} = - 1

\frac{- b - Δ}{2 a}

, avec

144 = 12

x_{2}

= \frac{6 + 12}{6} = 3

\frac{- b + Δ}{2 a}

f^{'} (x)

est du signe de

a = 3

, donc positif, à l'extérieur des racines, et négatif entre elles.

signe d'un trinôme

On calcule les images des bornes et des racines :

elles complètent le tableau

f (- 2)

= - 8 - 12 + 18 + 2 = 0

f (- 1)

= - 1 - 3 + 9 + 2 = 7

f (3)

= 27 - 27 - 27 + 2 = - 25

f (4)

= 64 - 48 - 36 + 2 = - 18

À vous de jouer

Soit $g (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 1$ sur l'intervalle $[0; 4]$ .

a)
Calculer $g^{'} (x)$ .
b)
Étudier le signe de $g^{'} (x)$ .
c)
Dresser le tableau de variations de $g$ .

Correction

g^{'} (x)

= - 3 x^{2} + 6 \times 2 x - 9

terme par terme

g^{'} (x)

= - 3 x^{2} + 12 x - 9

g^{'} (x)

est un trinôme :

a = - 3

b = 12

c = - 9

on cherche ses racines

Δ

= 1 2^{2} - 4 \times (- 3) \times (- 9)

b^{2} - 4 a c

Δ

= 36

144 - 108

; deux racines

x_{1}

= \frac{- 12 + 6}{- 6} = 1

36 = 6

x_{2}

= \frac{- 12 - 6}{- 6} = 3

g^{'} (x)

est du signe de

a = - 3

, donc négatif, à l'extérieur des racines, et positif entre elles.

signe d'un trinôme

g (0)

= 1

g (1)

= - 1 + 6 - 9 + 1 = - 3

g (3)

= - 27 + 54 - 27 + 1 = 1

g (4)

= - 64 + 96 - 36 + 1 = - 3

À faire : exercices 40 à 45

Exercice 40 — Du signe de $f^{'}$ aux variations

Voici le signe de $f^{'} (x)$ sur $[- 4; 5]$ . On sait que $f (- 4) = 2$ , $f (- 1) = - 3$ , $f (3) = 4$ et $f (5) = 1$ .

Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

$f^{'} (x) < 0$ : $f$ décroît ; $f^{'} (x) > 0$ : $f$ croît.

Exercice 41 — Un trinôme

Soit $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ sur $[0; 6]$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe.
b)
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 2 x - 6$ ; $2 x - 6 = 0$ pour $x = 3$ . Affine de coefficient $2 > 0$ : négatif avant $3$ , positif après.

b) $f (0) = 5$ ; $f (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ ; $f (6) = 36 - 36 + 5 = 5$ .

Exercice 42 — Un polynôme de degré 3

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ sur $[- 1; 3]$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ .
b)
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ .
c)
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$

b) $a = 3$ , $b = - 6$ , $c = 0$ .

Δ

= (- 6)^{2} - 4 \times 3 \times 0

Δ

= 36

x_{1}

= \frac{6 - 6}{6} = 0

x_{2}

= \frac{6 + 6}{6} = 2

Du signe de $a = 3 > 0$ à l'extérieur des racines.

c) $f (- 1) = - 1 - 3 + 1 = - 3$ ; $f (0) = 1$ ; $f (2) = 8 - 12 + 1 = - 3$ ; $f (3) = 27 - 27 + 1 = 1$ .

Plus rapide : $3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ , racines $0$ et $2$ .

Exercice 43 — Un coefficient négatif

Soit $g (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 5$ sur $[- 2; 3]$ .

a)
Calculer $g^{'} (x)$ .
b)
Étudier le signe de $g^{'} (x)$ .
c)
Dresser le tableau de variations de $g$ .

Corrigé

a) $g^{'} (x) = - 6 x^{2} + 6 x + 12$

Δ

= 6^{2} - 4 \times (- 6) \times 12

Δ

= 324

x_{1}

= \frac{- 6 + 18}{- 12} = - 1

x_{2}

= \frac{- 6 - 18}{- 12} = 2

Du signe de $a = - 6 < 0$ (négatif) à l'extérieur des racines, positif entre elles.

c) $g (- 2) = 16 + 12 - 24 - 5 = - 1$ ; $g (- 1) = 2 + 3 - 12 - 5 = - 12$ ; $g (2) = - 16 + 12 + 24 - 5 = 15$ ; $g (3) = - 54 + 27 + 36 - 5 = 4$ .

Exercice 44 — Un quotient

Soit $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ sur $[0; 4]$ .

a)
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
b)
En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0; 4]$ , puis dresser son tableau de variations.

Corrigé

a) $u = 2 x + 1$ , $u^{'} = 2$ ; $v = x + 1$ , $v^{'} = 1$ .

f^{'} (x)

= \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x + 1 ) \times 1}{( x + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{2 x + 2 - 2 x - 1}{( x + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

b) Un carré est positif : $f^{'} (x) > 0$ , donc $f$ est $croissante$ sur $[0; 4]$ . $f (0) = 1$ et $f (4) = \frac{9}{5}$ .

Exercice 45 — Étude complète et tracé

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x$ sur $[- 2; 2]$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe.
b)
Dresser le tableau de variations de $f$ .
c)
Déterminer l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ .
d)
Compléter un tableau de valeurs de $f$ pour $x = - 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ et $2$ .
e)
Dans un repère, tracer $T$ , puis $C_{f}$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ ; $Δ = 0 - 4 \times 3 \times (- 3) = 36$ , racines $\frac{0 \pm 6}{6}$ : $- 1$ et $1$ . Positif à l'extérieur ( $a = 3 > 0$ ).

b) $f (- 2) = - 2$ ; $f (- 1) = 2$ ; $f (1) = - 2$ ; $f (2) = 2$ .

c) $f (0) = 0$ et $f^{'} (0) = - 3$ : $y = - 3 x$ .

d) Valeurs :

$f (- 2) = - 2$ ; $f (- 1) = 2$ ;

$f (0) = 0$ ; $f (1) = - 2$ ;

$f (2) = 2$ .

e) Tangentes horizontales en $- 1$ et en $1$ .

Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursXI Dérivée et sens de variation

Propriété 8 — Signe de la dérivée et variations

Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 40 — Du signe de f′ aux variations

Exercice 41 — Un trinôme

Exercice 42 — Un polynôme de degré 3

Exercice 43 — Un coefficient négatif

Exercice 44 — Un quotient

Exercice 45 — Étude complète et tracé

Exercice 40 — Du signe de $f^{'}$ aux variations