Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursIV Équation de la tangente

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Propriété 1 — Équation de la tangente

La tangente à $C_{f}$ au point $A (a; f (a))$ a pour équation

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) .

D'où vient cette formule ? La tangente est une droite de coefficient directeur $f^{'} (a)$ : son équation s'écrit $y = f^{'} (a) x + p$ . Elle passe par $A (a; f (a))$ , ce qui donne $p$ (comme à la méthode 1) :

f^{'} (a) \times a + p

= f (a)

on remplace

x

par

a

y

par

f (a)

p

= f (a) - f^{'} (a) \times a

on isole

p

On remplace $p$ dans $y = f^{'} (a) x + p$ :

y

= f^{'} (a) x + f (a) - f^{'} (a) \times a

on remplace

p

y

= f^{'} (a) (x - a) + f (a)

on factorise

f^{'} (a) x - f^{'} (a) \times a

par

f^{'} (a)

Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente

Exemples corrigés

Soit $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ . On admet que $f^{'} (1) = - 2$ .

a)
Calculer $f (1)$ .
b)
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .

Correction

f (1)

= 1^{2} - 4 \times 1 + 1

on remplace

x

par

1

f (1)

= - 2

y

= f^{'} (1) (x - 1) + f (1)

la formule, avec

a = 1

y

= - 2 (x - 1) + (- 2)

f^{'} (1) = - 2

f (1) = - 2

y

= - 2 x + 2 - 2

on développe

y

= - 2 x

on réduit

La tangente au point d'abscisse

1

a pour équation

y = - 2 x

on conclut par une phrase

À vous de jouer

Soit $g (x) = x^{2} + x - 3$ . On admet que $g^{'} (2) = 5$ .

a)
Calculer $g (2)$ .
b)
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{g}$ au point d'abscisse $2$ .

Correction

g (2)

= 2^{2} + 2 - 3

on remplace

x

par

2

g (2)

= 3

y

= g^{'} (2) (x - 2) + g (2)

la formule, avec

a = 2

y

= 5 (x - 2) + 3

g^{'} (2) = 5

g (2) = 3

y

= 5 x - 10 + 3

on développe

y

= 5 x - 7

on réduit

La tangente au point d'abscisse

2

a pour équation

y = 5 x - 7

À faire : exercices 12 à 14

Exercice 12 — Avec un nombre dérivé admis

Soit $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ . On admet que $f^{'} (4) = 5$ et $f^{'} (1) = - 1$ .

a)
Calculer $f (4)$ , puis déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $4$ .
b)
Même question au point d'abscisse $1$ .

Corrigé

a) $f (4) = 16 - 12 + 2 = 6$ .

y

= f^{'} (4) (x - 4) + f (4)

y

= 5 (x - 4) + 6

y

= 5 x - 20 + 6

y

= 5 x - 14

b) $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .

y

= - 1 (x - 1) + 0

y

= - x + 1

Exercice 13 — Quatre tangentes

Pour chaque cas, déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ .

a)
$a = 2$ ; $f (2) = 3$ et $f^{'} (2) = 1$
b)
$a = - 1$ ; $f (- 1) = 4$ et $f^{'} (- 1) = - 2$
c)
$a = 3$ ; $f (3) = - 1$ et $f^{'} (3) = 0$
d)
$a = 0$ ; $f (0) = 5$ et $f^{'} (0) = - 3$

Corrigé

On remplace dans $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

a)
$y = 1 (x - 2) + 3$ , soit $y = x + 1$
b)
$y = - 2 (x + 1) + 4$ , soit $y = - 2 x + 2$
c)
$y = 0 (x - 3) - 1$ , soit $y = - 1$ (horizontale)
d)
$y = - 3 (x - 0) + 5$ , soit $y = - 3 x + 5$

b) $x - a = x - (- 1) = x + 1$ : attention au signe.

Exercice 14 — Du taux de variation à la tangente

Soit $f (x) = - x^{2} + 3 x + 1$ .

a)
Calculer $f (2)$ , puis $f (2 + h)$ .
b)
Simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}$ et en déduire $f^{'} (2)$ .
c)
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $2$ .

Corrigé

a) $f (2) = - 4 + 6 + 1 = 3$

f (2 + h)

= - (2 + h)^{2} + 3 (2 + h) + 1

f (2 + h)

= - 4 - 4 h - h^{2} + 6 + 3 h + 1

f (2 + h)

= - h^{2} - h + 3

T (h)

= \frac{- h ^{2} - h + 3 - 3}{h}

T (h)

= \frac{h ( - h - 1 )}{h}

T (h)

= - h - 1

Quand $h$ se rapproche de $0$ : $f^{'} (2) = - 1$ .

y

= - 1 (x - 2) + 3

y

= - x + 5