Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursIX Dérivée de l'inverse, d'un quotient

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Propriété 6 — Inverse et quotient

$u$ et $v$ sont deux fonctions, de dérivées $u^{'}$ et $v^{'}$ , et $v (x) \neq = 0$ .

Fonction	Dérivée
$\frac{1}{v}$	$- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$
$\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} \times v - u \times v ^{'}}{v ^{2}}$

Le dénominateur $v^{2}$ reste écrit au carré : on ne le développe pas.

Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient

Exemples corrigés

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{1}{2 x - 3}$
b)
$g (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

Correction

v (x)

= 2 x - 3

donc

v^{'} (x) = 2

f^{'} (x)

= - \frac{v ^{'} ( x )}{v ( x ) ^{2}}

la formule de l'inverse

f^{'} (x)

= - \frac{2}{( 2 x - 3 ) ^{2}}

on remplace

u (x)

= 3 x + 1

donc

u^{'} (x) = 3

v (x)

= x - 2

donc

v^{'} (x) = 1

g^{'} (x)

= \frac{u ^{'} ( x ) v ( x ) - u ( x ) v ^{'} ( x )}{v ( x ) ^{2}}

la formule du quotient

g^{'} (x)

= \frac{3 ( x - 2 ) - ( 3 x + 1 ) \times 1}{( x - 2 ) ^{2}}

parenthèses autour de

u (x)

: le

-

porte sur tout

g^{'} (x)

= \frac{3 x - 6 - 3 x - 1}{( x - 2 ) ^{2}}

on développe le numérateur

g^{'} (x)

= \frac{- 7}{( x - 2 ) ^{2}}

on réduit

À vous de jouer

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$k (x) = \frac{1}{4 x + 1}$
b)
$m (x) = \frac{2 x - 5}{x + 3}$

Correction

v (x)

= 4 x + 1

donc

v^{'} (x) = 4

k^{'} (x)

= - \frac{v ^{'} ( x )}{v ( x ) ^{2}}

la formule de l'inverse

k^{'} (x)

= - \frac{4}{( 4 x + 1 ) ^{2}}

on remplace

u (x)

= 2 x - 5

donc

u^{'} (x) = 2

v (x)

= x + 3

donc

v^{'} (x) = 1

m^{'} (x)

= \frac{u ^{'} ( x ) v ( x ) - u ( x ) v ^{'} ( x )}{v ( x ) ^{2}}

la formule du quotient

m^{'} (x)

= \frac{2 ( x + 3 ) - ( 2 x - 5 ) \times 1}{( x + 3 ) ^{2}}

parenthèses autour de

u (x)

m^{'} (x)

= \frac{2 x + 6 - 2 x + 5}{( x + 3 ) ^{2}}

on développe le numérateur

m^{'} (x)

= \frac{11}{( x + 3 ) ^{2}}

on réduit

À faire : exercices 31 à 34

Exercice 31 — Des inverses

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{1}{3 x + 2}$
b)
$g (x) = \frac{1}{1 - 4 x}$
c)
$h (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$
d)
$k (x) = \frac{5}{2 x - 1}$

Corrigé

On écrit $v$ et $v^{'}$ , puis $- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ .

a)
$v^{'} = 3$ : $f^{'} (x) = - \frac{3}{( 3 x + 2 ) ^{2}}$
b)
$v^{'} = - 4$ : $g^{'} (x) = - \frac{- 4}{( 1 - 4 x ) ^{2}} = \frac{4}{( 1 - 4 x ) ^{2}}$
c)
$v^{'} = 2 x$ : $h^{'} (x) = - \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
d)
$k (x) = 5 \times \frac{1}{2 x - 1}$ , $v^{'} = 2$ : $k^{'} (x) = - \frac{10}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$

Exercice 32 — Des quotients

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{x + 4}{x - 1}$
b)
$g (x) = \frac{2 x - 1}{x + 2}$
c)
$h (x) = \frac{3 x}{x + 1}$
d)
$k (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 2}$

Corrigé

a) $u = x + 4$ , $u^{'} = 1$ ; $v = x - 1$ , $v^{'} = 1$ .

f^{'} (x)

= \frac{1 \times ( x - 1 ) - ( x + 4 ) \times 1}{( x - 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{x - 1 - x - 4}{( x - 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{- 5}{( x - 1 ) ^{2}}

b) $g^{'} (x) = \frac{2 ( x + 2 ) - ( 2 x - 1 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{5}{( x + 2 ) ^{2}}$

c) $h^{'} (x) = \frac{3 ( x + 1 ) - 3 x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$

d) $u^{'} = 2 x$ ; $v^{'} = 1$ .

k^{'} (x)

= \frac{2 x ( x - 2 ) - ( x ^{2} + 1 )}{( x - 2 ) ^{2}}

k^{'} (x)

= \frac{2 x ^{2} - 4 x - x ^{2} - 1}{( x - 2 ) ^{2}}

k^{'} (x)

= \frac{x ^{2} - 4 x - 1}{( x - 2 ) ^{2}}

Des parenthèses autour de $u (x)$ : le $-$ porte sur tout le terme.

Exercice 33 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{1}{x + 5}$
b)
$g (x) = \frac{3}{4 x - 1}$
c)
$h (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$
d)
$k (x) = \frac{4 x + 1}{2 x - 3}$
e)
$m (x) = \frac{2}{x ^{2} + 4}$
f)
$p (x) = \frac{x ^{2}}{x + 1}$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = - \frac{1}{( x + 5 ) ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = 3 \times (- \frac{4}{( 4 x - 1 ) ^{2}}) = - \frac{12}{( 4 x - 1 ) ^{2}}$
c)
$h^{'} (x) = \frac{( x + 2 ) - ( x - 3 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{5}{( x + 2 ) ^{2}}$
d)
$k^{'} (x) = \frac{8 x - 12 - 8 x - 2}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 14}{( 2 x - 3 ) ^{2}}$ (numérateur : $4 (2 x - 3) - (4 x + 1) \times 2$ )
e)
$m^{'} (x) = 2 \times (- \frac{2 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}) = - \frac{4 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
f)
$p^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 1 ) - x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}$

Exercice 34 — Quotient et tangente

Soit $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ .
b)
Calculer $f (2)$ et $f^{'} (2)$ , puis déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $2$ .

Corrigé

a) $u = 2 x + 1$ , $u^{'} = 2$ ; $v = x - 1$ , $v^{'} = 1$ .

f^{'} (x)

= \frac{2 ( x - 1 ) - ( 2 x + 1 ) \times 1}{( x - 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{2 x - 2 - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{- 3}{( x - 1 ) ^{2}}

b) $f (2) = \frac{5}{1} = 5$ et $f^{'} (2) = \frac{- 3}{1} = - 3$ .

y

= - 3 (x - 2) + 5

y

= - 3 x + 11