Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursIII Tangente à une courbe

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Définition 2 — Tangente

La tangente à $C_{f}$ au point $A$ d'abscisse $a$ est la droite qui

passe par $A (a; f (a))$ ;
a pour coefficient directeur le nombre dérivé $f^{'} (a)$ .

Près de $A$ , elle « colle » à la courbe. Sur un graphique, $f^{'} (a)$ se lit donc comme la pente de la tangente : à partir de $A$ , on avance de $1$ et on monte de $f^{'} (a)$ . Une tangente horizontale correspond à $f^{'} (a) = 0$ .

Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente

Exemples corrigés

On a tracé la courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ et ses tangentes aux points $A$ , $B$ et $C$ .

a)
Lire $f^{'} (- 3)$ , $f^{'} (- 1)$ et $f^{'} (1)$ .
b)
On sait que $f^{'} (4) = 2$ . Tracer la tangente à $C_{f}$ au point $D (4; 0)$ .

Correction

A

: on avance de

1

, on monte de

3

. Donc

f^{'} (- 3) = 3

la tangente passe par

(- 2; 3)

B

: la tangente est horizontale. Donc

f^{'} (- 1) = 0

on ne monte pas

C

: on avance de

1

, on descend de

2

. Donc

f^{'} (1) = - 2

la tangente passe par

(2; - 1)

; on descend : nombre négatif

On part de $D (4; 0)$ , on avance de $1$ et on monte de $2$ : on arrive en $(5; 2)$ . On trace la droite qui passe par ces deux points (en reculant de $1$ et en descendant de $2$ , on arrive en $(3; - 2)$ ).

À vous de jouer

On a tracé la courbe $C_{g}$ d'une fonction $g$ et ses tangentes aux points $P$ , $Q$ et $R$ .

a)
Lire $g^{'} (- 2)$ , $g^{'} (0)$ et $g^{'} (4)$ .
b)
On sait que $g^{'} (- 4) = - 2$ . Tracer la tangente à $C_{g}$ au point $S (- 4; 4)$ .

Correction

P

: la tangente est horizontale. Donc

g^{'} (- 2) = 0

on ne monte pas

Q

: on avance de

1

, on monte de

1

. Donc

g^{'} (0) = 1

la tangente passe par

(1; 3)

R

: on avance de

1

, on descend de

3

. Donc

g^{'} (4) = - 3

on descend : nombre négatif

On part de

S (- 4; 4)

, on avance de

1

et on descend de

2

: on arrive en

(- 3; 2)

. On trace la droite qui passe par ces deux points.

g^{'} (- 4) = - 2

: on descend de

2

À faire : exercices 9 à 11

Exercice 9 — Lire des nombres dérivés

On a tracé $C_{f}$ et ses tangentes aux points $A$ , $B$ , $C$ et $E$ .

Lire $f^{'} (- 3)$ , $f^{'} (- 1)$ , $f^{'} (1)$ et $f^{'} (4)$ .

Corrigé

On part du point, on avance de $1$ et on lit de combien la tangente monte.

f^{'} (- 3) = - 2

f^{'} (- 1) = 0

(horizontale)

f^{'} (1) = 2

f^{'} (4) = - 2

Exercice 10 — Tracer des tangentes

Dans un repère, placer chaque point de $C_{f}$ , puis tracer la tangente à $C_{f}$ en ce point.

a)
$A (0; 1)$ et $f^{'} (0) = 2$
b)
$B (1; 3)$ et $f^{'} (1) = - 1$
c)
$C (- 2; - 1)$ et $f^{'} (- 2) = \frac{1}{2}$
d)
$D (3; - 2)$ et $f^{'} (3) = 0$

Corrigé

$A$ : on avance de $1$ , on monte de $2$ .

$B$ : on avance de $1$ , on descend de $1$ .

$C$ : on avance de $2$ , on monte de $1$ .

$D$ : tangente horizontale.

Exercice 11 — Retrouver l'allure d'une courbe

Dans un repère, tracer une courbe qui passe par $A (- 3; - 2)$ , $B (- 1; 2)$ , $C (1; 0)$ et $D (3; - 2)$ , avec $f^{'} (- 3) = 3$ , $f^{'} (- 1) = 0$ , $f^{'} (1) = - 2$ et $f^{'} (3) = 0$ . Commencer par tracer les quatre tangentes.

Corrigé

On trace d'abord un petit morceau de chaque tangente, puis la courbe, qui les « touche » en $A$ , $B$ , $C$ et $D$ : un maximum en $B$ , un minimum en $D$ .