Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursX Fonctions composées

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Propriété 7 — Tableau de référence des fonctions composées

$u$ est une fonction de dérivée $u^{'}$ (par exemple $u (x) = x^{2} + 3 x$ , ou $u (x) = 3 x + 1$ ).

Fonction	Dérivée
$u^{n}$	$n \times u^{'} \times u^{n - 1}$
$cos (u)$	$- u^{'} \times sin (u)$
$sin (u)$	$u^{'} \times cos (u)$

On dérive comme si $u$ était $x$ , puis on multiplie par $u^{'}$ . Cas fréquent en électricité : $cos (ω t + φ)$ a pour dérivée $- ω sin (ω t + φ)$ .

Méthode 10 — Dériver une fonction composée

Exemples corrigés

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (x^{2} + 3 x)^{4}$
b)
$g (x) = cos (3 x + 1)$
c)
$h (x) = 5 sin (2 x - 1)$

Correction

u (x)

= x^{2} + 3 x

donc

u^{'} (x) = 2 x + 3

; ici

n = 4

f^{'} (x)

= 4 \times u^{'} (x) \times u (x)^{3}

la formule de

u^{n}

f^{'} (x)

= 4 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x)^{3}

on remplace ; on ne développe pas

u (x)

= 3 x + 1

donc

u^{'} (x) = 3

g^{'} (x)

= - u^{'} (x) \times sin (u (x))

la formule de

cos (u)

g^{'} (x)

= - 3 sin (3 x + 1)

on remplace

u (x)

= 2 x - 1

donc

u^{'} (x) = 2

h^{'} (x)

= 5 \times 2 cos (2 x - 1)

la formule de

sin (u)

; le

5

reste devant

h^{'} (x)

= 10 cos (2 x - 1)

À vous de jouer

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$k (x) = (x^{2} - 5 x)^{3}$
b)
$m (x) = cos (5 x - 2)$
c)
$p (x) = 2 sin (3 x + 5)$

Correction

u (x)

= x^{2} - 5 x

donc

u^{'} (x) = 2 x - 5

; ici

n = 3

k^{'} (x)

= 3 \times u^{'} (x) \times u (x)^{2}

la formule de

u^{n}

k^{'} (x)

= 3 (2 x - 5) (x^{2} - 5 x)^{2}

on remplace

u (x)

= 5 x - 2

donc

u^{'} (x) = 5

m^{'} (x)

= - u^{'} (x) \times sin (u (x))

la formule de

cos (u)

m^{'} (x)

= - 5 sin (5 x - 2)

on remplace

u (x)

= 3 x + 5

donc

u^{'} (x) = 3

p^{'} (x)

= 2 \times 3 cos (3 x + 5)

la formule de

sin (u)

; le

2

reste devant

p^{'} (x)

= 6 cos (3 x + 5)

À faire : exercices 35 à 39

Exercice 35 — Des puissances

Calculer la dérivée de chaque fonction, avec la formule de $u^{n}$ .

a)
$f (x) = (3 x - 2)^{4}$
b)
$g (x) = (x^{2} + 1)^{3}$
c)
$h (x) = (1 - 2 x)^{5}$
d)
$k (x) = (x^{3} + x)^{2}$

Corrigé

On écrit $u$ , $u^{'}$ et $n$ , puis $n \times u^{'} \times u^{n - 1}$ .

a)
$u^{'} = 3$ , $n = 4$ : $f^{'} (x) = 12 (3 x - 2)^{3}$
b)
$u^{'} = 2 x$ , $n = 3$ : $g^{'} (x) = 6 x (x^{2} + 1)^{2}$
c)
$u^{'} = - 2$ , $n = 5$ : $h^{'} (x) = - 10 (1 - 2 x)^{4}$
d)
$u^{'} = 3 x^{2} + 1$ , $n = 2$ : $k^{'} (x) = 2 (3 x^{2} + 1) (x^{3} + x)$

Exercice 36 — Cosinus et sinus composés

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = cos (4 x)$
b)
$g (x) = sin (2 x + 3)$
c)
$h (x) = 3 cos (5 x - 1)$
d)
$k (t) = 2 sin (100 t)$

Corrigé

a)
$u = 4 x$ , $u^{'} = 4$ : $f^{'} (x) = - 4 sin (4 x)$
b)
$u^{'} = 2$ : $g^{'} (x) = 2 cos (2 x + 3)$
c)
$u^{'} = 5$ : $h^{'} (x) = 3 \times (- 5) sin (5 x - 1) = - 15 sin (5 x - 1)$
d)
$u^{'} = 100$ : $k^{'} (t) = 2 \times 100 cos (100 t) = 200 cos (100 t)$

Exercice 37 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (5 x + 2)^{3}$
b)
$g (x) = (x^{2} - 3 x)^{4}$
c)
$h (x) = cos (3 x - 2)$
d)
$k (x) = 4 sin (x^{2})$
e)
$m (t) = 5 cos (100 t + 1)$
f)
$p (x) = (2 - x)^{6}$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 3 \times 5 (5 x + 2)^{2} = 15 (5 x + 2)^{2}$
b)
$g^{'} (x) = 4 (2 x - 3) (x^{2} - 3 x)^{3}$
c)
$h^{'} (x) = - 3 sin (3 x - 2)$
d)
$u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ : $k^{'} (x) = 4 \times 2 x cos (x^{2}) = 8 x cos (x^{2})$
e)
$m^{'} (t) = 5 \times (- 100) sin (100 t + 1) = - 500 sin (100 t + 1)$
f)
$u^{'} = - 1$ : $p^{'} (x) = - 6 (2 - x)^{5}$

Exercice 38 — Un piston

La position d'un piston, en cm, au bout de $t$ secondes, est $p (t) = 6 cos (2 t)$ . Sa vitesse, en cm/s, est la dérivée $p^{'} (t)$ .

a)
Calculer $p^{'} (t)$ .
b)
Quelle est la vitesse du piston à l'instant $t = 0$ ?
c)
Sachant que $sin (2 t)$ est toujours compris entre $- 1$ et $1$ , quelle est la plus grande vitesse possible du piston (en valeur absolue) ?

Corrigé

a) $u = 2 t$ , $u^{'} = 2$ : $p^{'} (t) = 6 \times (- 2) sin (2 t) = - 12 sin (2 t)$

b) $p^{'} (0) = - 12 sin 0 = 0 cm/s$ : au départ, le piston est immobile.

c) $sin (2 t)$ est entre $- 1$ et $1$ , donc $p^{'} (t)$ est entre $- 12$ et $12$ : au plus $12 cm/s$ .

Exercice 39 — Dérivées en vrac

Pour chaque fonction, choisir la bonne formule, puis calculer la dérivée.

a)
$f (x) = 3 x^{4} - \frac{2}{x}$
b)
$g (x) = (x^{2} + 1) (x - 3)$
c)
$h (x) = (2 x + 5)^{3}$
d)
$k (x) = \frac{4}{x ^{2} + 3}$
e)
$m (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} + 1}$
f)
$p (x) = x cos x$

Corrigé

a)
Somme : $f^{'} (x) = 12 x^{3} + \frac{2}{x ^{2}}$
b)
Produit : $g^{'} (x) = 2 x (x - 3) + (x^{2} + 1) = 3 x^{2} - 6 x + 1$
c)
Puissance : $h^{'} (x) = 3 \times 2 (2 x + 5)^{2} = 6 (2 x + 5)^{2}$
d)
Inverse : $k^{'} (x) = 4 \times (- \frac{2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}) = - \frac{8 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$
e)
Quotient : $m^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - ( x - 1 ) \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} + 2 x + 1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
f)
Produit : $p^{'} (x) = cos x - x sin x$