Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursVII Autres fonctions dérivées

Sommaire du chapitre

I — Fonctions affines et droites
- Méthode 1 — Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé avec le taux de variation
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé, tracer une tangente
IV — Équation de la tangente
- Méthode 4 — Déterminer l'équation d'une tangente
V — Approximation affine
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée avec la tangente
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
- Méthode 6 — Dériver une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
- Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
- Méthode 8 — Dériver un produit, un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
X — Fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
XI — Dérivée et sens de variation
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
- Méthode 12 — Trouver le maximum dans un problème
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$
- Méthode 13 — Montrer qu'une équation a une seule solution, l'encadrer

Propriété 4 — Inverse, cosinus et sinus

Fonction $f (x)$	Dérivée $f^{'} (x)$
$\frac{1}{x}$ (pour $x \neq = 0$ )	$- \frac{1}{x ^{2}}$
$cos x$	$- sin x$
$sin x$	$cos x$

Pour $cos x$ et $sin x$ , $x$ est un angle en radians (chapitre 7). Attention au signe $-$ : seule la dérivée de $cos x$ en a un.

Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus

Exemples corrigés

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{5}{x}$
b)
$g (x) = 4 x + \frac{2}{x}$
c)
$h (x) = 3 sin x + x^{2}$
d)
$k (x) = 2 cos x - x^{3}$

Correction

f^{'} (x)

= 5 \times (- \frac{1}{x ^{2}})

\frac{5}{x} = 5 \times \frac{1}{x}

: le

5

reste devant

f^{'} (x)

= - \frac{5}{x ^{2}}

g^{'} (x)

= 4 + 2 \times (- \frac{1}{x ^{2}})

terme par terme

g^{'} (x)

= 4 - \frac{2}{x ^{2}}

h^{'} (x)

= 3 cos x + 2 x

sin x

devient

cos x

, le

3

reste devant

k^{'} (x)

= 2 \times (- sin x) - 3 x^{2}

cos x

devient

- sin x

k^{'} (x)

= - 2 sin x - 3 x^{2}

À vous de jouer

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$m (x) = - \frac{3}{x}$
b)
$p (x) = x^{2} - \frac{6}{x}$
c)
$q (x) = 4 sin x - x$
d)
$r (x) = 5 cos x + 2 x^{2}$

Correction

m^{'} (x)

= - 3 \times (- \frac{1}{x ^{2}})

- 3

reste devant

m^{'} (x)

= \frac{3}{x ^{2}}

moins par moins : plus

p^{'} (x)

= 2 x - 6 \times (- \frac{1}{x ^{2}})

terme par terme

p^{'} (x)

= 2 x + \frac{6}{x ^{2}}

q^{'} (x)

= 4 cos x - 1

sin x

devient

cos x

;

- x

devient

- 1

r^{'} (x)

= 5 \times (- sin x) + 2 \times 2 x

cos x

devient

- sin x

r^{'} (x)

= - 5 sin x + 4 x

À faire : exercices 23 à 26

Exercice 23 — Inverse, cosinus, sinus

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{4}{x}$
b)
$g (x) = - \frac{7}{x}$
c)
$h (x) = cos x + 3 x$
d)
$k (x) = 5 sin x$
e)
$m (x) = 2 cos x - 3 sin x$
f)
$p (x) = x^{4} - \frac{1}{x}$
g)
$q (x) = \frac{6}{x} + 2 x^{2}$
h)
$r (x) = - sin x + x^{3}$

Corrigé

f^{'} (x) = - \frac{4}{x ^{2}}

g^{'} (x) = \frac{7}{x ^{2}}

h^{'} (x) = - sin x + 3

k^{'} (x) = 5 cos x

m^{'} (x) = - 2 sin x - 3 cos x

p^{'} (x) = 4 x^{3} + \frac{1}{x ^{2}}

q^{'} (x) = - \frac{6}{x ^{2}} + 4 x

r^{'} (x) = - cos x + 3 x^{2}

Seule la dérivée de $cos x$ porte un signe $-$ : $(cos x)^{'} = - sin x$ .

Exercice 24 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{3}{x} + x$
b)
$g (x) = 4 cos x + x^{2}$
c)
$h (x) = - 2 sin x + 5$
d)
$k (x) = x^{3} - \frac{5}{x}$
e)
$m (x) = sin x - cos x$
f)
$p (x) = \frac{1}{x} - 3 cos x$

Corrigé

f^{'} (x) = - \frac{3}{x ^{2}} + 1

g^{'} (x) = - 4 sin x + 2 x

h^{'} (x) = - 2 cos x

k^{'} (x) = 3 x^{2} + \frac{5}{x ^{2}}

m^{'} (x) = cos x + sin x

p^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} + 3 sin x

e) $- cos x$ a pour dérivée $- (- sin x) = sin x$ .

Exercice 25 — Tangentes à la courbe de $\frac{2}{x}$

Soit $f (x) = \frac{2}{x}$ pour $x \neq = 0$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ .
b)
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ .
c)
Même question au point d'abscisse $2$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 2 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = - \frac{2}{x ^{2}}$

b) $f (1) = 2$ et $f^{'} (1) = - 2$ .

y

= - 2 (x - 1) + 2

y

= - 2 x + 4

c) $f (2) = 1$ et $f^{'} (2) = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$ .

y

= - \frac{1}{2} (x - 2) + 1

y

= - \frac{1}{2} x + 2

Exercice 26 — Sinus et cosinus près de $0$

a)
Soit $f (x) = sin x$ . Calculer $f^{'} (0)$ , puis déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ .
b)
En déduire une valeur approchée de $sin (0, 1)$ ; comparer avec la calculatrice (en radians).
c)
Soit $g (x) = cos x$ . Calculer $g^{'} (0)$ . Que peut-on dire de la tangente au point d'abscisse $0$ ?

Corrigé

a) $f^{'} (x) = cos x$ , donc $f^{'} (0) = cos 0 = 1$ ; $f (0) = sin 0 = 0$ .

y

= 1 (x - 0) + 0

y

= x

b) $sin (0, 1) ≃ 0, 1$ ; la calculatrice donne $0, 0998 \dots$

c) $g^{'} (x) = - sin x$ , donc $g^{'} (0) = 0$ : la tangente est $horizontale$ , d'équation $y = 1$ (car $g (0) = 1$ ).

Chapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions · coursVII Autres fonctions dérivées

Propriété 4 — Inverse, cosinus et sinus

Méthode 7 — Dériver avec l'inverse, le cosinus et le sinus

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 23 — Inverse, cosinus, sinus

Exercice 24 — Entraînement

Exercice 25 — Tangentes à la courbe de x2​

Exercice 26 — Sinus et cosinus près de 0

Exercice 25 — Tangentes à la courbe de $\frac{2}{x}$

Exercice 26 — Sinus et cosinus près de $0$