Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursI Fonction croissante, fonction décroissante

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Une courbe se lit comme le profil d'une étape de montagne du Tour de France : en la parcourant de gauche à droite, on monte ou on descend.

Définition 1 — Fonction croissante, décroissante, constante

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si, quand $x$ augmente, $f (x)$ augmente : pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ , si $a < b$ alors $f (a) ⩽ f (b)$ . Sa courbe monte.
$f$ est décroissante sur $I$ si, quand $x$ augmente, $f (x)$ diminue : si $a < b$ alors $f (a) ⩾ f (b)$ . Sa courbe descend.
$f$ est constante sur $I$ si $f (x)$ garde toujours la même valeur. Sa courbe est horizontale.

croissante : $a < b$ et $f (a) ⩽ f (b)$

décroissante : $a < b$ et $f (a) ⩾ f (b)$

Une fonction croissante conserve l'ordre ; une fonction décroissante renverse l'ordre.

Exemple : $2 < 7$ . Si $f$ est croissante sur $[0; 10]$ , alors $f (2) ⩽ f (7)$ ; si $g$ est décroissante sur $[0; 10]$ , alors $g (2) ⩾ g (7)$ .

Donner les variations de $f$ , c'est dire sur quels intervalles elle est croissante et sur lesquels elle est décroissante.

Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe

Exemples corrigés

La fonction $f$ est représentée ci-contre par sa courbe $C_{f}$ .

a)
Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle définie ?
b)
Sur quels intervalles $f$ est-elle croissante ? décroissante ?

Correction

f

est définie sur

[- 4; 5]

la courbe commence en

x = - 4

et s'arrête en

x = 5

f

est croissante sur

[- 4; - 1]

x = - 4

x = - 1

, la courbe monte

f

est décroissante sur

[- 1; 3]

x = - 1

x = 3

, elle descend

f

est croissante sur

[3; 5]

puis elle remonte jusqu'à

x = 5

Les intervalles s'écrivent avec des valeurs de

x

on ne recopie pas les hauteurs

4

- 2

À vous de jouer

La fonction $g$ est représentée ci-contre par sa courbe $C_{g}$ .

a)
Sur quel intervalle la fonction $g$ est-elle définie ?
b)
Donner les variations de $g$ .

Correction

g

est définie sur

[- 3; 4]

la courbe commence en

x = - 3

et s'arrête en

x = 4

g

est décroissante sur

[- 3; 0]

x = - 3

x = 0

, la courbe descend

g

est croissante sur

[0; 2]

x = 0

x = 2

, elle monte

g

est décroissante sur

[2; 4]

puis elle redescend jusqu'à

x = 4

À faire : exercices 1 à 6

Exercice 1 — Lire les variations

La courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ est tracée ci-dessous.

1.
Sur quel intervalle $f$ est-elle définie ?
2.
Sur quels intervalles $f$ est-elle croissante ? décroissante ?

Corrigé

1) $f$ est définie sur $[- 3; 5]$ .

2) $f$ est croissante sur $[- 3; 0]$ , décroissante sur $[0; 3]$ et croissante sur $[3; 5]$ .

Les intervalles s'écrivent avec des valeurs de $x$ , pas avec les hauteurs.

Exercice 2 — Une randonnée

À 8 h, Inès quitte le parking (altitude 1 200 m) et monte jusqu'à un refuge, qu'elle atteint à 11 h. Elle s'y repose jusqu'à 12 h, puis redescend au parking, où elle arrive à 15 h. On note $f (t)$ son altitude à l'heure $t$ , pour $t$ dans $[8; 15]$ .

1.
Sur quels intervalles $f$ est-elle croissante ? constante ? décroissante ?
2.
Comparer $f (9)$ et $f (10)$ , puis $f (13)$ et $f (14)$ .

Corrigé

1) $f$ est croissante sur $[8; 11]$ (montée), constante sur $[11; 12]$ (pause) et décroissante sur $[12; 15]$ (descente).

2) $9 < 10$ et $f$ croissante sur $[8; 11]$ : $f (9) ⩽ f (10)$ .

$13 < 14$ et $f$ décroissante sur $[12; 15]$ : $f (13) ⩾ f (14)$ .

Exercice 3 — Comparer des images

1.
$g$ est une fonction définie sur $R$ . Comparer $g (2)$ et $g (5)$ lorsque : a) $g$ est croissante ; b) $g$ est décroissante ; c) $g$ est constante.
2.
$f$ est croissante sur $[- 5; 5]$ . Comparer $f (- 4)$ et $f (- 1)$ .

Corrigé

1) $2 < 5$ , donc : a) $g (2) ⩽ g (5)$ ; b) $g (2) ⩾ g (5)$ ; c) $g (2) = g (5)$ .

2) $- 4 < - 1$ et $f$ croissante : $f (- 4) ⩽ f (- 1)$ .

Exercice 4 — Conserver ou renverser l'ordre

La fonction $f$ est croissante sur $[0; 10]$ ; la fonction $g$ est décroissante sur $[0; 10]$ .

1.
Ranger $f (1)$ , $f (3)$ , $f (4)$ et $f (8)$ dans l'ordre croissant.
2.
Ranger $g (1)$ , $g (3)$ , $g (4)$ et $g (8)$ dans l'ordre croissant.
3.
Recopier et compléter : « Une fonction croissante … l'ordre ; une fonction décroissante … l'ordre. »
4.
On sait que $f (a) < f (b)$ . Peut-on avoir $a > b$ ? Justifier.

Corrigé

1) $1 < 3 < 4 < 8$ et $f$ croissante : $f (1) ⩽ f (3) ⩽ f (4) ⩽ f (8)$ .

2) $g$ décroissante : l'ordre est inversé, $g (8) ⩽ g (4) ⩽ g (3) ⩽ g (1)$ .

3) Une fonction croissante conserve l'ordre ; une fonction décroissante renverse l'ordre.

4) Non : si $a > b$ , alors $f (b) ⩽ f (a)$ ( $f$ croissante), ce qui contredit $f (a) < f (b)$ . Donc $a < b$ .

Exercice 5 — Tracer une courbe

Dans un repère, tracer une courbe passant par $A (0; 1)$ et $B (6; 3)$ et pouvant représenter une fonction $f$ définie sur $[0; 6]$ :

1.
croissante sur $[0; 6]$ ;
2.
décroissante sur $[0; 2]$ , puis croissante sur $[2; 6]$ .

Corrigé

1) Courbe bleue : elle monte de $A$ à $B$ .

2) Courbe rouge : elle descend de $A$ jusqu'à un point d'abscisse $2$ , par exemple $(2; - 1)$ , puis monte jusqu'à $B$ .

Exercice 6 — Vrai ou faux

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifier (une courbe peut servir de contre-exemple).

1.
Si $f$ est croissante sur $[0; 10]$ , alors elle est croissante sur $[2; 5]$ .
2.
Si $f (1) < f (4)$ , alors $f$ est croissante sur $[1; 4]$ .
3.
Si $f$ n'est pas croissante sur $[0; 5]$ , alors elle est décroissante sur $[0; 5]$ .

Corrigé

1) Vrai : $[2; 5]$ est contenu dans $[0; 10]$ ; la courbe y monte aussi.

2) Faux : la courbe peut monter, redescendre, puis remonter. Par exemple $f (1) = 0$ , $f (2) = 3$ , $f (3) = - 1$ et $f (4) = 1$ : $f (1) < f (4)$ , mais $f (2) > f (3)$ .

3) Faux : une fonction peut descendre puis monter ; elle n'est alors ni croissante ni décroissante sur $[0; 5]$ .

Pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit.