Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursXII Inéquations quotient

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Propriété 7 — Signe d'un quotient

Un quotient suit la même règle des signes qu'un produit. Le dénominateur ne peut pas être nul : la valeur qui l'annule est une valeur interdite. Dans le tableau, on la marque d'une double barre, et elle n'est jamais solution.

Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient

Exemples corrigés

Résoudre chaque inéquation.

a)
$\frac{3 x - 6}{x + 1} ⩾ 0$
b)
$\frac{4 - 2 x}{x + 3} > 0$

Correction

Valeur interdite :

x + 1 = 0

pour

x = - 1

dénominateur nul

3 x - 6 = 0

pour

x = 2

;

a = 3 > 0

-

puis

+

3 x = 6

x + 1

a = 1 > 0

-

puis

+

signe du dénominateur

S =] - \infty; - 1 [\cup [2; + \infty [

signes

+

;

2

compris (

⩾

) ;

- 1

exclu (interdite)

Valeur interdite :

x + 3 = 0

pour

x = - 3

dénominateur nul

4 - 2 x = 0

pour

x = 2

;

a = - 2 < 0

+

puis

-

- 2 x = - 4

S =] - 3; 2 [

signes

+

; inégalité stricte

À vous de jouer

Résoudre $\frac{x - 5}{x + 2} ⩽ 0$ , puis $\frac{2 x + 1}{3 - x} ⩾ 0$ .

Correction

Première inéquation

Valeur interdite :

x + 2 = 0

pour

x = - 2

dénominateur nul

x - 5 = 0

pour

x = 5

;

a = 1 > 0

-

puis

+

numérateur

S =] - 2; 5]

signes

-

;

5

compris (

⩽

) ;

- 2

exclu (interdite)

Seconde inéquation

Valeur interdite :

3 - x = 0

pour

x = 3

dénominateur nul

2 x + 1 = 0

pour

x = - \frac{1}{2}

;

a = 2 > 0

-

puis

+

3 - x

a = - 1 < 0

+

puis

-

S = [- \frac{1}{2}; 3 [

signes

+

;

- \frac{1}{2}

compris (

⩾

) ;

3

exclu (interdite)

À faire : exercices 44 à 46

Exercice 44 — Signe d'un quotient

Pour chaque quotient, donner la valeur interdite, puis dresser le tableau de signes.

A (x) = \frac{x + 3}{x - 2}

B (x) = \frac{6 - 2 x}{x + 4}

C (x) = \frac{3 x}{5 - x}

Corrigé

$A$ : valeur interdite $2$ ; $x + 3 = 0$ pour $x = - 3$ .

$B$ : valeur interdite $- 4$ ; $6 - 2 x = 0$ pour $x = 3$ ( $a < 0$ ).

$C$ : valeur interdite $5$ ; $3 x = 0$ pour $x = 0$ .

Exercice 45 — Résoudre

Résoudre chaque inéquation.

\frac{x - 1}{x + 3} ⩾ 0

\frac{2 x + 8}{x - 6} < 0

\frac{4 - x}{2 x - 2} ⩽ 0

\frac{- 3 x - 6}{x + 5} > 0

Corrigé

a) Interdite $- 3$ , s'annule en $1$ ; quotient $+$ , $∥$ , $-$ , $0$ , $+$ : $S =] - \infty; - 3 [\cup [1; + \infty [$ .

b) Interdite $6$ , s'annule en $- 4$ ; quotient $+$ , $0$ , $-$ , $∥$ , $+$ : $S =] - 4; 6 [$ .

c) Interdite $1$ , s'annule en $4$ ; quotient $-$ , $∥$ , $+$ , $0$ , $-$ : $S =] - \infty; 1 [\cup [4; + \infty [$ .

d) Interdite $- 5$ , s'annule en $- 2$ ; quotient $-$ , $∥$ , $+$ , $0$ , $-$ : $S =] - 5; - 2 [$ .

La valeur interdite est toujours exclue : crochet ouvert de son côté, même avec « $⩽$ » ou « $⩾$ ».

Exercice 46 — Produit, puis quotient

1.
Résoudre $(3 x + 6) (- x + 4) > 0$ .
2.
Pour quelle valeur de $x$ le quotient $\frac{3 x + 6}{- x + 4}$ n'existe-t-il pas ?
3.
Résoudre $\frac{3 x + 6}{- x + 4} ⩽ 0$ .

Corrigé

1) $3 x + 6$ : $-$ puis $+$ autour de $- 2$ ; $- x + 4$ : $+$ puis $-$ autour de $4$ .

$S =] - 2; 4 [$ .

2) Pour $x = 4$ : le dénominateur $- x + 4$ est nul.

3) $S =] - \infty; - 2] \cup] 4; + \infty [$ .

Même tableau de signes que le produit, sauf en $4$ : double barre.