Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursX Signe d'une fonction affine par le calcul

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Propriété 5 — Signe de $a x + b$

Soit $f (x) = a x + b$ avec $a \neq = 0$ . On trouve d'abord la valeur qui annule $f (x)$ , en résolvant $a x + b = 0$ ; le signe de $a$ donne ensuite l'ordre des signes :

$a > 0$ : droite qui monte

$a < 0$ : droite qui descend

Pourquoi ? Pour $a > 0$ , on résout $a x + b > 0$ (méthode 11) :

a x + b

> 0

f (x)

strictement positif

a x

> - b

on enlève

b

x

> - \frac{b}{a}

on divise par

a > 0

: même sens

Donc $+$ après $- \frac{b}{a}$ . Pour $a < 0$ , la division change le sens : $+$ avant $- \frac{b}{a}$ .

Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$

Exemples corrigés

Dresser le tableau de signes de chaque expression $A$ , $B$ .

a)
$A (x) = 3 x - 12$
b)
$B (x) = - 2 x + 5$

Correction

3 x - 12

= 0

valeur qui annule

A (x)

3 x

= 12

on ajoute

12

x

= 4

on divise par

3

a = 3 > 0

-

avant

4

+

après.

propriété 5 : la droite monte

- 2 x + 5

= 0

valeur qui annule

B (x)

- 2 x

= - 5

on enlève

5

x

= \frac{5}{2}

on divise par

- 2

a = - 2 < 0

+

avant

\frac{5}{2}

-

après.

la droite descend

À vous de jouer

Dresser le tableau de signes de chaque expression $C$ , $D$ , $E$ :

C (x) = 5 x + 10

D (x) = 6 - 4 x

E (x) = \frac{1}{2} x - 3

Correction

$C$

5 x + 10

= 0

valeur qui annule

C (x)

5 x

= - 10

x

= - 2

a = 5 > 0

-

avant

- 2

+

après.

la droite monte

$D$

6 - 4 x

= 0

valeur qui annule

D (x)

- 4 x

= - 6

x

= \frac{3}{2}

\frac{- 6}{- 4} = \frac{3}{2}

a = - 4 < 0

+

avant

\frac{3}{2}

-

après.

la droite descend

$E$

\frac{1}{2} x - 3

= 0

valeur qui annule

E (x)

\frac{1}{2} x

= 3

x

= 6

on multiplie par

2

a = \frac{1}{2} > 0

-

avant

6

+

après.

À faire : exercices 37 à 40

Exercice 37 — Tableaux de signes

Dresser le tableau de signes de chaque expression.

A (x) = 2 x - 8

B (x) = - 3 x + 9

C (x) = 5 x + 15

D (x) = - \frac{1}{2} x + 4

E (x) = 7 x

F (x) = - 6 x + 4

Corrigé

On cherche la valeur qui annule l'expression, puis le signe de $a$ donne l'ordre des signes.

$A$ : $2 x - 8 = 0$ pour $x = 4$ ; $a = 2 > 0$ : $-$ avant $4$ , $+$ après.

$B$ : $- 3 x + 9 = 0$ pour $x = 3$ ; $a < 0$ : $+$ avant $3$ , $-$ après.

$C$ : $5 x + 15 = 0$ pour $x = - 3$ ; $a > 0$ : $-$ avant $- 3$ , $+$ après.

$D$ : $- \frac{1}{2} x + 4 = 0$ pour $x = 8$ ; $a < 0$ : $+$ avant $8$ , $-$ après.

$E$ : $7 x = 0$ pour $x = 0$ ; $a > 0$ : $-$ avant $0$ , $+$ après.

$F$ : $- 6 x + 4 = 0$ pour $x = \frac{2}{3}$ ; $a < 0$ : $+$ avant $\frac{2}{3}$ , $-$ après.

Pour $D$ : $- \frac{1}{2} x = - 4$ , puis $x = - 4 \times (- 2) = 8$ .

Exercice 38 — Variations, droite et signe

On considère $f (x) = 3 x - 6$ et $g (x) = 8 - 2 x$ .

1.
Donner le sens de variation de $f$ et de $g$ .
2.
Tracer leurs droites dans un même repère.
3.
Dresser le tableau de signes de $f$ et de $g$ par le calcul, puis le vérifier sur le graphique.

Corrigé

1) $f$ : $a = 3 > 0$ , croissante ; $g (x) = - 2 x + 8$ : $a = - 2 < 0$ , décroissante.

2) $f$ : points $(1; - 3)$ et $(3; 3)$ ; $g$ : points $(1; 6)$ et $(4; 0)$ .

3) $3 x - 6 = 0$ pour $x = 2$ : $f$ : $-$ avant $2$ , $+$ après.

$8 - 2 x = 0$ pour $x = 4$ : $g$ : $+$ avant $4$ , $-$ après.

Sur le graphique, les droites coupent l'axe en $2$ et en $4$ .

Exercice 39 — Associer

Associer chaque fonction $f (x) = 4 x - 12$ et $g (x) = 6 - 2 x$ à son tableau de signes, en justifiant.

Corrigé

$f (3) = 0$ et $g (3) = 0$ : les deux s'annulent en $3$ .

$f$ : $a = 4 > 0$ , $-$ puis $+$ : tableau 2. $g$ : $a = - 2 < 0$ , $+$ puis $-$ : tableau 1.

Exercice 40 — Bénéfice

Une artisane fabrique des bougies. Pour $x$ bougies vendues dans le mois (de $0$ à $100$ ), son bénéfice, en euros, est $B (x) = 12 x - 480$ .

1.
Calculer $B (0)$ . Que représente ce nombre ?
2.
Dresser le tableau de signes de $B (x)$ sur $[0; 100]$ .
3.
À partir de combien de bougies vendues gagne-t-elle de l'argent ?

Corrigé

1) $B (0) = - 480$ : sans vente, l'artisane perd $480$ € (matériel, frais).

2) $12 x - 480 = 0$ pour $x = 40$ ; $a = 12 > 0$ :

3) $B (x) > 0$ pour $x > 40$ : elle gagne de l'argent à partir de 41 bougies.

Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursX Signe d'une fonction affine par le calcul

Propriété 5 — Signe de ax+b

Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de ax+b

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 37 — Tableaux de signes

Exercice 38 — Variations, droite et signe

Exercice 39 — Associer

Exercice 40 — Bénéfice

Propriété 5 — Signe de $a x + b$

Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$