Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursVI Fonction affine passant par deux points

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Propriété 3 — Coefficient directeur

Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ sont deux points de la droite d'une fonction affine $f (x) = a x + b$ , avec $x_{A} \neq = x_{B}$ , alors :

a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

(diff \overset{e}{ˊ} rence des ordonn \overset{e}{ˊ} es sur diff \overset{e}{ˊ} rence des abscisses)

Démonstration

Correction

y_{B} - y_{A}

= f (x_{B}) - f (x_{A})

A

B

sont sur la droite

y_{B} - y_{A}

= (a x_{B} + b) - (a x_{A} + b)

définition de

f

y_{B} - y_{A}

= a (x_{B} - x_{A})

les

b

s'annulent ; on factorise par

a

On divise par

x_{B} - x_{A}

, qui n'est pas nul.

on obtient la formule

Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points

Exemples corrigés

a)
Trouver la fonction affine $f$ telle que $f (1) = 5$ et $f (3) = - 1$ .
b)
Une course de taxi de $4$ km coûte $11$ € ; une course de $10$ km coûte $20$ €. Le prix est une fonction affine $p$ de la distance $x$ (en km). Trouver $p (x)$ .

Correction

La droite passe par

A (1; 5)

B (3; - 1)

f (1) = 5

: point d'abscisse

1

et d'ordonnée

5

a

= \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

propriété 3

a

= \frac{- 1 - 5}{3 - 1}

on remplace

a

= - 3

- 6 \div 2

Donc

f (x) = - 3 x + b

; on cherche

b

avec le point

A

f (1) = 5

f (1)

= - 3 \times 1 + b

on remplace

x

par

1

5

= - 3 + b

car

f (1) = 5

b

= 5 + 3

on ajoute

3

des deux côtés

b

= 8

f (x) = - 3 x + 8

contrôle avec

B

f (3) = - 9 + 8 = - 1

La droite passe par

A (4; 11)

B (10; 20)

distance en abscisse, prix en ordonnée

a

= \frac{20 - 11}{10 - 4}

propriété 3

a

= \frac{9}{6}

a

= 1, 5

le prix augmente de

1, 5

€ par km

p (4)

= 1, 5 \times 4 + b

on remplace

x

par

4

11

= 6 + b

car

p (4) = 11

b

= 5

on enlève

6

des deux côtés

p (x) = 1, 5 x + 5

5

€ de prise en charge, plus

1, 5

€ par km

À vous de jouer

a)
Trouver la fonction affine $f$ telle que $f (- 1) = 6$ et $f (3) = - 2$ .
b)
Trouver la fonction affine $g$ dont la droite passe par $A (- 2; 0)$ et $B (4; 3)$ .

Correction

La droite passe par

A (- 1; 6)

B (3; - 2)

f (- 1) = 6

: point d'abscisse

- 1

et d'ordonnée

6

a

= \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

propriété 3

a

= \frac{- 2 - 6}{3 - ( - 1 )}

on remplace

a

= - 2

- 8 \div 4

f (3)

= - 2 \times 3 + b

on remplace

x

par

3

- 2

= - 6 + b

car

f (3) = - 2

b

= 4

on ajoute

6

des deux côtés

f (x) = - 2 x + 4

contrôle avec

A

f (- 1) = 2 + 4 = 6

a

= \frac{3 - 0}{4 - ( - 2 )}

propriété 3

a

= \frac{3}{6}

a

= \frac{1}{2}

g (4)

= \frac{1}{2} \times 4 + b

on remplace

x

par

4

3

= 2 + b

car

g (4) = 3

b

= 1

on enlève

2

des deux côtés

g (x) = \frac{1}{2} x + 1

contrôle avec

A

g (- 2) = - 1 + 1 = 0

À faire : exercices 23 à 26

Exercice 23 — Deux images connues

Trouver la fonction affine qui vérifie :

f (1) = 4

f (3) = 10

g (- 2) = 7

g (2) = - 1

h (0) = 5

h (4) = 3

k (- 3) = - 4

k (6) = 2

Corrigé

$f$ : $a = \frac{10 - 4}{3 - 1} = 3$ ; $f (1) = 3 + b = 4$ , donc $b = 1$ : $f (x) = 3 x + 1$ .

$g$ : $a = \frac{- 1 - 7}{2 - ( - 2 )} = - 2$ ; $g (- 2) = 4 + b = 7$ , donc $b = 3$ : $g (x) = - 2 x + 3$ .

$h$ : $b = h (0) = 5$ ; $a = \frac{3 - 5}{4 - 0} = - \frac{1}{2}$ : $h (x) = - \frac{1}{2} x + 5$ .

$k$ : $a = \frac{2 - ( - 4 )}{6 - ( - 3 )} = \frac{6}{9}$ , soit $a = \frac{2}{3}$ ; $k (6) = 4 + b = 2$ , donc $b = - 2$ : $k (x) = \frac{2}{3} x - 2$ .

Attention aux soustractions de nombres négatifs : $2 - (- 2) = 4$ . Contrôle avec l'autre point : $k (- 3) = - 2 - 2 = - 4$ .

Exercice 24 — Droite passant par deux points

1.
Trouver la fonction affine $f$ dont la droite passe par $A (2; 1)$ et $B (6; 3)$ . Que remarque-t-on ?
2.
Le point $E (10; 5)$ est-il sur la droite $(A B)$ ?
3.
Trouver la fonction affine $g$ dont la droite passe par $C (- 1; 5)$ et $D (2; - 4)$ .
4.
Le point $F (3; - 6)$ est-il sur la droite $(C D)$ ?

Corrigé

1) $a = \frac{3 - 1}{6 - 2} = \frac{1}{2}$ ; $f (2) = 1 + b = 1$ , donc $b = 0$ : $f (x) = \frac{1}{2} x$ . La fonction est linéaire : la droite passe par l'origine.

2) $f (10) = 5$ : oui, $E$ est sur $(A B)$ .

3) $a = \frac{- 4 - 5}{2 - ( - 1 )} = - 3$ ; $g (- 1) = 3 + b = 5$ , donc $b = 2$ : $g (x) = - 3 x + 2$ .

4) $g (3) = - 9 + 2 = - 7 \neq = - 6$ : non, $F$ n'est pas sur $(C D)$ .

Exercice 25 — Température

Un matin de printemps, il fait $6$ °C à 8 h et $18$ °C à 14 h. On admet que la température $T (h)$ est une fonction affine de l'heure $h$ sur $[8; 14]$ .

1.
Donner $T (8)$ et $T (14)$ , puis l'expression de $T (h)$ .
2.
Calculer la température à 11 h.
3.
À quelle heure fait-il $14$ °C ?

Corrigé

1) $T (8) = 6$ et $T (14) = 18$ . $a = \frac{18 - 6}{14 - 8} = 2$ ; $T (8) = 16 + b = 6$ , donc $b = - 10$ : $T (h) = 2 h - 10$ .

2) $T (11) = 22 - 10 = 12$ °C.

2 h - 10

= 14

2 h

= 24

h

= 12

Il fait $14$ °C à 12 h.

Exercice 26 — Facture d'électricité

Une facture d'électricité est une fonction affine $f$ de la consommation $x$ (en kWh) : pour $300$ kWh, on paie $72$ € ; pour $500$ kWh, on paie $102$ €.

1.
Trouver $f (x)$ .
2.
Que représentent $a$ et $b$ ?
3.
Combien paie-t-on pour $800$ kWh ?

Corrigé

1) $a = \frac{102 - 72}{500 - 300} = \frac{30}{200}$ , soit $a = 0, 15$ ; $f (300) = 45 + b = 72$ , donc $b = 27$ : $f (x) = 0, 15 x + 27$ .

2) $a$ : le prix d'un kWh ( $0, 15$ €) ; $b$ : l'abonnement ( $27$ €), payé même sans consommer.

3) $f (800) = 120 + 27 = 147$ €.