Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursIII Tableau de variations

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Définition 3 — Tableau de variations

Le tableau de variations d'une fonction résume ses variations :

sur la première ligne, les valeurs de $x$ : les bornes de l'intervalle de définition et les valeurs où le sens de variation change ;
sur la seconde ligne, une flèche qui monte (fonction croissante) ou qui descend (fonction décroissante), avec les images au bout des flèches.

Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe

Exemples corrigés

La fonction $k$ , définie sur $[- 3; 4]$ , est représentée ci-contre par sa courbe $C_{k}$ . Dresser son tableau de variations.

Correction

Résolution

Première ligne :

- 3

1

4

bornes

- 3

4

; changement de sens en

1

Seconde ligne : une flèche qui descend, puis une qui monte.

décroissante sur

[- 3; 1]

, croissante sur

[1; 4]

Au bout des flèches :

k (- 3) = 4

k (1) = - 2

k (4) = 2

images lues sur la courbe

À vous de jouer

Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ de la méthode 1.

Correction

Première ligne :

- 3

0

2

4

bornes

- 3

4

; changements de sens en

0

et en

2

Seconde ligne : une flèche qui descend, une qui monte, une qui descend.

Au bout des flèches :

g (- 3) = 3

g (0) = - 1

g (2) = 2

g (4) = 0

images lues sur la courbe

Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations

Exemples corrigés

La fonction $s$ a le tableau de variations ci-contre.

a)
Comparer $s (- 4)$ et $s (- 2)$ .
b)
Comparer $s (0)$ et $s (3)$ .
c)
Donner le maximum et le minimum de $s$ .

Correction

- 4

- 2

sont dans

[- 5; - 1]

, où

s

est croissante.

on cherche l'intervalle qui contient les deux nombres

- 4 < - 2

, donc

s (- 4) ⩽ s (- 2)

croissante : l'ordre est conservé

0

3

sont dans

[- 1; 4]

, où

s

est décroissante.

même intervalle

0 < 3

, donc

s (0) ⩾ s (3)

décroissante : l'ordre est inversé

Le maximum de

s

est

7

, atteint en

x = - 1

plus grand nombre de la seconde ligne

Le minimum de

s

est

- 3

, atteint en

x = 4

plus petit nombre de la seconde ligne

À vous de jouer

La fonction $t$ a le tableau de variations ci-contre.

a)
Comparer $t (- 2)$ et $t (0)$ , puis $t (2)$ et $t (4)$ .
b)
Donner le maximum et le minimum de $t$ .

Correction

- 2

0

sont dans

[- 3; 1]

, où

t

est croissante ;

- 2 < 0

, donc

t (- 2) ⩽ t (0)

croissante : l'ordre est conservé

2

4

sont dans

[1; 5]

, où

t

est décroissante ;

2 < 4

, donc

t (2) ⩾ t (4)

décroissante : l'ordre est inversé

Le maximum de

t

est

5

, atteint en

x = 1

plus grand nombre de la seconde ligne

Le minimum de

t

est

- 1

, atteint en

x = - 3

- 1

est plus petit que

2

À faire : exercices 10 à 14

Exercice 10 — De la courbe au tableau

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ de l'exercice 1.

Corrigé

Sur la première ligne : les bornes $- 3$ et $5$ , et les valeurs $0$ et $3$ où le sens de variation change.

Exercice 11 — Du tableau à la courbe

Une fonction $g$ a le tableau de variations ci-dessous.

1.
Sur quel intervalle $g$ est-elle définie ?
2.
Décrire ses variations par des phrases.
3.
Tracer, dans un repère, une courbe pouvant représenter $g$ .

Corrigé

1) $g$ est définie sur $[- 4; 5]$ .

2) $g$ est décroissante sur $[- 4; - 1]$ , croissante sur $[- 1; 2]$ et décroissante sur $[2; 5]$ .

3) Une courbe possible ci-contre.

Exercice 12 — Exploiter un tableau

Une fonction $k$ a le tableau de variations ci-dessous.

1.
Comparer $k (- 4)$ et $k (- 2)$ , puis $k (1)$ et $k (3)$ .
2.
Expliquer pourquoi on ne peut pas comparer $k (- 3)$ et $k (2)$ .
3.
Donner le maximum et le minimum de $k$ .

Corrigé

1) $- 4$ et $- 2$ sont dans $[- 5; - 1]$ , où $k$ est croissante ; $- 4 < - 2$ , donc $k (- 4) ⩽ k (- 2)$ .

$1$ et $3$ sont dans $[- 1; 4]$ , où $k$ est décroissante ; $1 < 3$ , donc $k (1) ⩾ k (3)$ .

2) $- 3$ et $2$ ne sont pas dans un même intervalle où $k$ varie dans un seul sens : $k (- 3)$ est entre $- 2$ et $4$ , $k (2)$ entre $0$ et $4$ ; on ne peut pas conclure.

3) Maximum $4$ , en $- 1$ ; minimum $- 2$ , en $- 5$ .

Exercice 13 — Extremums et tableau

Une fonction $h$ a le tableau de variations ci-dessous.

1.
Donner le maximum et le minimum de $h$ sur $[- 4; 6]$ , sur $[- 4; 0]$ , puis sur $[3; 6]$ , et où ils sont atteints.
2.
Donner deux nombres $m$ et $M$ tels que $m ⩽ h (x) ⩽ M$ pour tout $x$ de $[- 4; 6]$ .

Corrigé

1) Sur $[- 4; 6]$ : maximum $5$ , en $0$ ; minimum $- 3$ , en $3$ .

Sur $[- 4; 0]$ : maximum $5$ , en $0$ ; minimum $2$ , en $- 4$ .

Sur $[3; 6]$ : minimum $- 3$ , en $3$ ; maximum $1$ , en $6$ .

2) Par exemple $m = - 3$ et $M = 5$ : $- 3 ⩽ h (x) ⩽ 5$ .

Exercice 14 — D'une description au tableau

Une fonction $f$ est définie sur $[- 3; 6]$ ; elle est décroissante sur $[- 3; 1]$ , croissante sur $[1; 4]$ et décroissante sur $[4; 6]$ . De plus, $f (- 3) = 5$ , $f (1) = - 2$ , $f (4) = 3$ et $f (6) = 0$ .

1.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
2.
Donner son maximum et son minimum.
3.
Tracer, dans un repère, une courbe pouvant représenter $f$ .

Corrigé

2) Maximum $5$ , en $- 3$ ; minimum $- 2$ , en $1$ .

3) Une courbe possible ci-contre.

Le maximum est au bord : $5 > 3$ .