Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursXIII Inéquations avancées

a) $x^2-3x⩾0$, soit $x(x-3)⩾0$ ; produit $+$, $0$, $-$, $0$, $+$ : $S=\left]-\infty ;0\right]\cup \left[3;+\infty \right[$.

b) $2x^2-8x<0$, soit $2x(x-4)<0$ : $S=\left]0;4\right[$.

c) $x^2+5x⩽0$, soit $x(x+5)⩽0$ : $S=\left[-5;0\right]$.

Ne jamais diviser par $x$ : son signe est inconnu, et on perdrait la solution $0$.

a) $x^2-25<0$, soit $(x-5)(x+5)<0$ : $S=\left]-5;5\right[$.

b) $(x-3{)}^2-4⩾0$, soit $(x-3-2)(x-3+2)⩾0$, donc $(x-5)(x-1)⩾0$ : $S=\left]-\infty ;1\right]\cup \left[5;+\infty \right[$.

c) $(2x+1{)}^2-9⩽0$, soit $(2x+1-3)(2x+1+3)⩽0$, donc $(2x-2)(2x+4)⩽0$ : $S=\left[-2;1\right]$.

On passe tout à gauche pour comparer à $0$, puis on factorise avec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

a) Valeur interdite : $1$.

Quotient $-$, $\Vert$, $+$, $0$, $-$ (valeurs $1$ et $7$) : $S=\left]1;7\right]$.

b) Valeur interdite : $-2$.

Quotient $-$, $\Vert$, $+$, $0$, $-$ (valeurs $-2$ et $1$) : $S=\left]-\infty ;-2\right[\cup \left]1;+\infty \right[$.

Contrôle de a) avec $x=3$ : $\frac{8}{2}=4⩾2$, et $3$ est bien dans $S$.

1) $M(10)=\frac{80}{10}=8$ € et $M(30)=\frac{120}{30}=4$ €.

2)

3) Pour $x>0$, le dénominateur est positif ; $60-3x$ s'annule en $20$ et $a=-3<0$ :

Le coût moyen est d'au plus $5$ € à partir de 20 figurines.