Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursVIII Propriétés des inégalités, encadrer une quantité

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Propriété 4 — Opérations sur les inégalités

Soit $a < b$ , et $c$ un nombre.

Ajouter ou soustraire $c$ conserve le sens : $a + c < b + c$ et $a - c < b - c$ .
Exemple : $2 < 5$ , donc $2 + 3 < 5 + 3$ , soit $5 < 8$ .
Multiplier ou diviser par $c > 0$ conserve le sens : $a \times c < b \times c$ .
Exemple : $2 < 5$ , donc $2 \times 4 < 5 \times 4$ , soit $8 < 20$ .
Multiplier ou diviser par $c < 0$ change le sens : $a \times c > b \times c$ .
Exemple : $2 < 5$ , donc $2 \times (- 3) > 5 \times (- 3)$ , soit $- 6 > - 15$ .

$2 < 5$ , mais $- 2 > - 5$ :
multiplier par $- 1$ renverse l'ordre

Méthode 10 — Encadrer une quantité

Exemples corrigés

On sait que $2 ⩽ x ⩽ 5$ . Encadrer chaque expression $A$ , $B$ .

a)
$A = 3 x - 1$
b)
$B = - 2 x + 4$

Correction

265 ⩽ ⩽ ⩽ x 3 x 3 x - 1 ⩽ ⩽ ⩽ 51514

on recopie l'encadrement on multiplie par

3 > 0

: même sens on enlève

1

5 ⩽ A ⩽ 14

conclusion

2 - 4 0 ⩽ ⩾ ⩾ x - 2 x - 2 x + 4 ⩽ ⩾ ⩾ 5 - 10 - 6

on recopie l'encadrement on multiplie par

- 2 < 0

: le sens change on ajoute

4

- 6 ⩽ B ⩽ 0

on réécrit l'encadrement dans l'ordre croissant

À vous de jouer

On sait que $- 1 ⩽ x ⩽ 3$ . Encadrer $C = 4 x + 2$ , puis $D = 5 - x$ .

Correction

$C$

- 1 - 4 - 2 ⩽ ⩽ ⩽ x 4 x 4 x + 2 ⩽ ⩽ ⩽ 31214

on recopie l'encadrement on multiplie par

4 > 0

: même sens on ajoute

2

- 2 ⩽ C ⩽ 14

conclusion

$D$

- 1 16 ⩽ ⩾ ⩾ x - x 5 - x ⩽ ⩾ ⩾ 3 - 3 2

on recopie l'encadrement on multiplie par

- 1 < 0

: le sens change on ajoute

5

2 ⩽ D ⩽ 6

on réécrit l'encadrement dans l'ordre croissant

À faire : exercices 30 à 32

Exercice 30 — Règles des inégalités

On sait que $a < b$ . Compléter par $<$ ou $>$ .

a + 4 \dots b + 4

a - 7 \dots b - 7

3 a \dots 3 b

- 5 a \dots - 5 b

\frac{a}{2} \dots \frac{b}{2}

- a \dots - b

Corrigé

a) $a + 4 < b + 4$ ; b) $a - 7 < b - 7$ : ajouter ou soustraire conserve le sens.

c) $3 a < 3 b$ ; e) $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$ : multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens.

d) $- 5 a > - 5 b$ ; f) $- a > - b$ : multiplier par un nombre négatif change le sens.

Exercice 31 — Encadrer

On sait que $1 ⩽ x ⩽ 4$ . Encadrer chaque expression.

A = 2 x + 3

B = - 3 x + 1

C = 5 - 2 x

D = \frac{1}{2} x - 1

Corrigé

$A$ : $2 ⩽ 2 x ⩽ 8$ , puis $5 ⩽ A ⩽ 11$ .

$B$ :

1 - 3 - 2 ⩽ ⩾ ⩾ x - 3 x - 3 x + 1 ⩽ ⩾ ⩾ 4 - 12 - 11 \times (- 3) : le sens change

donc $- 11 ⩽ B ⩽ - 2$ .

$C$ : $- 2 ⩾ - 2 x ⩾ - 8$ , puis $3 ⩾ 5 - 2 x ⩾ - 3$ : $- 3 ⩽ C ⩽ 3$ .

$D$ : $\frac{1}{2} ⩽ \frac{1}{2} x ⩽ 2$ , puis $- \frac{1}{2} ⩽ D ⩽ 1$ .

Après une multiplication par un nombre négatif, on réécrit l'encadrement dans l'ordre croissant.

Exercice 32 — Mesures imprécises

1.
Un potager rectangulaire mesure $6$ m de large ; sa longueur $x$ , en mètres, vérifie $10 ⩽ x ⩽ 12$ . Encadrer son périmètre $P = 2 x + 12$ , puis son aire $A = 6 x$ .
2.
Une température $C$ en degrés Celsius vaut $F = 1, 8 C + 32$ en degrés Fahrenheit. Au printemps, $15 ⩽ C ⩽ 25$ . Encadrer $F$ .

Corrigé

1) $20 ⩽ 2 x ⩽ 24$ , donc $32 ⩽ P ⩽ 36$ (en m) ; $60 ⩽ A ⩽ 72$ (en m²).

2) $27 ⩽ 1, 8 C ⩽ 45$ , donc $59 ⩽ F ⩽ 77$ .