Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursXI Inéquations produit

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Propriété 6 — Signe d'un produit

Le signe d'un produit suit la règle des signes : deux facteurs de même signe donnent un produit positif, deux facteurs de signes contraires un produit négatif.

Dans un tableau de signes, on met une ligne par facteur, puis une dernière ligne pour le produit ; un $0$ dans une colonne donne un $0$ au produit.

Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit

Exemples corrigés

Résoudre chaque inéquation.

a)
$(x - 3) (2 x + 4) < 0$
b)
$(5 - x) (3 x + 3) ⩾ 0$

Correction

On cherche les

x

pour lesquels le produit

(x - 3) (2 x + 4)

est négatif : on étudie son signe.

< 0

» veut dire « strictement négatif »

x - 3 = 0

pour

x = 3

;

a = 1 > 0

-

puis

+

signe du premier facteur

2 x + 4

= 0

second facteur

2 x

= - 4

x

= - 2

a = 2 > 0

-

puis

+

Valeurs rangées dans l'ordre :

- 2

puis

3

première ligne du tableau

S =] - 2; 3 [

on lit les signes

-

; inégalité stricte :

- 2

3

exclus

On cherche les

x

pour lesquels le produit est positif ou nul.

⩾ 0

» veut dire « positif ou nul »

5 - x

= 0

premier facteur

x

= 5

a = - 1 < 0

+

puis

-

3 x + 3

= 0

second facteur

3 x

= - 3

x

= - 1

a = 3 > 0

-

puis

+

S = [- 1; 5]

on lit les signes

+

; «

⩾

» : les

0

sont compris

À vous de jouer

Résoudre $(2 x - 6) (x + 1) ⩽ 0$ , puis $x (4 - x) > 0$ .

Correction

Première inéquation

2 x - 6 = 0

pour

x = 3

;

a = 2 > 0

-

puis

+

premier facteur

x + 1 = 0

pour

x = - 1

;

a = 1 > 0

-

puis

+

second facteur

S = [- 1; 3]

on lit les signes

-

et les

0

; «

⩽

» : bornes comprises

Seconde inéquation

x

s'annule en

0

(

-

puis

+

) ;

4 - x

s'annule en

4

, et

a = - 1 < 0

+

puis

-

signe de chaque facteur

S =] 0; 4 [

signes

+

; inégalité stricte :

0

4

exclus

À faire : exercices 41 à 43

Exercice 41 — Signe d'un produit

Dresser le tableau de signes de chaque produit.

$A (x) = (x - 2) (3 x + 6)$

$B (x) = (4 x - 12) (- x + 1)$

$C (x) = (5 - x) (2 x + 8)$

Corrigé

$A$ : $x - 2 = 0$ pour $x = 2$ ; $3 x + 6 = 0$ pour $x = - 2$ ; $a > 0$ pour les deux.

$B$ : $4 x - 12 = 0$ pour $x = 3$ ( $a > 0$ ) ; $- x + 1 = 0$ pour $x = 1$ ( $a < 0$ ).

$C$ : $5 - x = 0$ pour $x = 5$ ( $a < 0$ ) ; $2 x + 8 = 0$ pour $x = - 4$ ( $a > 0$ ).

Exercice 42 — Résoudre

Résoudre chaque inéquation.

(x - 4) (x + 1) < 0

(2 x + 6) (x - 5) ⩾ 0

(3 - x) (x + 2) > 0

(- 2 x + 4) (3 x - 9) ⩽ 0

Corrigé

Tableau de signes du produit dans chaque cas (valeurs rangées dans l'ordre), puis lecture.

a) Produit $+$ , $0$ , $-$ , $0$ , $+$ (valeurs $- 1$ et $4$ ) ; « $< 0$ » : $S =] - 1; 4 [$ .

b) Produit $+$ , $0$ , $-$ , $0$ , $+$ (valeurs $- 3$ et $5$ ) ; « $⩾ 0$ » : $S =] - \infty; - 3] \cup [5; + \infty [$ .

c) Produit $-$ , $0$ , $+$ , $0$ , $-$ (valeurs $- 2$ et $3$ ) ; « $> 0$ » : $S =] - 2; 3 [$ .

d) Produit $-$ , $0$ , $+$ , $0$ , $-$ (valeurs $2$ et $3$ ) ; « $⩽ 0$ » : $S =] - \infty; 2] \cup [3; + \infty [$ .

« $⩽$ » ou « $⩾$ » : les valeurs où le produit s'annule sont des solutions (crochets fermés).

Exercice 43 — Trouver l'erreur

Pour étudier le signe de $(x + 1) (2 - x)$ , Lina a dressé le tableau ci-dessous. Trouver son erreur, puis dresser le bon tableau.

Corrigé

Lina a mal rangé les valeurs : $- 1$ doit être écrit avant $2$ .