Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursII Maximum, minimum

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Définition 2 — Maximum, minimum

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et $a$ un nombre de $I$ .

$f$ admet un maximum $M$ en $a$ si $f (a) = M$ et si, pour tout $x$ de $I$ , $f (x) ⩽ M$ : c'est la plus grande image, au point le plus haut de la courbe.
$f$ admet un minimum $m$ en $a$ si $f (a) = m$ et si, pour tout $x$ de $I$ , $f (x) ⩾ m$ : c'est la plus petite image, au point le plus bas.

Un maximum ou un minimum s'appelle un extremum. On dit qu'il est atteint en $a$ .

Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe

Exemples corrigés

La fonction $h$ , définie sur $[- 4; 3]$ , est représentée ci-contre par sa courbe $C_{h}$ .

a)
Donner le maximum et le minimum de $h$ sur $[- 4; 3]$ , et où ils sont atteints.
b)
Même question sur l'intervalle $[1; 3]$ seulement.

Correction

Le maximum de

h

est

3

, atteint en

x = 1

point le plus haut :

(1; 3)

Le minimum de

h

est

- 3

, atteint en

x = - 2

point le plus bas :

(- 2; - 3)

Sur

[1; 3]

, le maximum est

3

, atteint en

x = 1

on ne regarde que la partie de la courbe entre

x = 1

x = 3

Le minimum est

1

, atteint en

x = 3

un extremum peut être au bord de l'intervalle

À vous de jouer

Donner le maximum et le minimum de la fonction $g$ de la méthode 1 sur $[- 3; 4]$ , et où ils sont atteints.

Correction

Le maximum de

g

est

3

, atteint en

x = - 3

point le plus haut :

(- 3; 3)

, au bord ; il est plus haut que le sommet

(2; 2)

Le minimum de

g

est

- 1

, atteint en

x = 0

point le plus bas :

(0; - 1)

À faire : exercices 7 à 9

Exercice 7 — Lire des extremums

On reprend la fonction $f$ de l'exercice 1. Donner son maximum et son minimum, et où ils sont atteints :

1.
sur $[- 3; 5]$ ;
2.
sur $[0; 5]$ ;
3.
sur $[3; 5]$ .

Corrigé

1) Sur $[- 3; 5]$ : maximum $3$ , atteint en $0$ ; minimum $- 2$ , atteint en $- 3$ .

2) Sur $[0; 5]$ : maximum $3$ , en $0$ ; minimum $- 1$ , en $3$ .

3) Sur $[3; 5]$ : minimum $- 1$ , en $3$ ; maximum $2$ , en $5$ .

Sur un intervalle plus petit, on ne regarde que le morceau de courbe correspondant : un extremum peut être au bord.

Exercice 8 — Tracer à partir d'une description

Une fonction $f$ est définie sur $[- 2; 6]$ . Elle est croissante sur $[- 2; 1]$ , décroissante sur $[1; 4]$ et croissante sur $[4; 6]$ ; son maximum est $4$ , atteint en $1$ , et son minimum est $- 3$ , atteint en $4$ . De plus, $f (- 2) = 0$ et $f (6) = 2$ .

1.
Placer dans un repère les points connus de la courbe, puis tracer une courbe pouvant représenter $f$ .
2.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[4; 6]$ .

Corrigé

1) Points connus : $(- 2; 0)$ , $(1; 4)$ , $(4; - 3)$ et $(6; 2)$ ; la courbe monte, descend, puis remonte, avec une tangente horizontale en $(1; 4)$ et en $(4; - 3)$ .

2) Sur $[4; 6]$ : minimum $- 3$ , en $4$ ; maximum $2$ , en $6$ .

Exercice 9 — Les marées

Un jour de grande marée, à Saint-Malo, la mer est haute à 2 h (hauteur d'eau $12$ m), basse à 8 h ( $2$ m), haute à 14 h ( $13$ m) et basse à 20 h ( $1$ m). Entre deux de ces instants, la hauteur varie toujours dans le même sens. On note $f (t)$ la hauteur d'eau (en m) à l'heure $t$ , pour $t$ dans $[2; 20]$ .

1.
Donner les variations de $f$ .
2.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[2; 20]$ , puis sur $[2; 8]$ , et à quelle heure ils sont atteints.
3.
Tracer une courbe pouvant représenter $f$ : en abscisse, l'heure de $0$ à $20$ (1 carreau pour 2 h) ; en ordonnée, la hauteur de $0$ à $14$ m (1 carreau pour 1 m). Placer d'abord les quatre points connus.

Corrigé

1) $f$ est décroissante sur $[2; 8]$ , croissante sur $[8; 14]$ et décroissante sur $[14; 20]$ .

2) Sur $[2; 20]$ : maximum $13$ m, à 14 h ; minimum $1$ m, à 20 h. Sur $[2; 8]$ : maximum $12$ m, à 2 h ; minimum $2$ m, à 8 h.

3) Une courbe possible, un carreau pour 2 h et pour 1 m (tangente horizontale aux pleines et basses mers) :