Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursVII Signe d'une fonction par lecture graphique

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Définition 5 — Signe d'une fonction, tableau de signes

Étudier le signe d'une fonction $f$ , c'est trouver pour quels $x$ :

$f (x) > 0$ : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses ;
$f (x) < 0$ : la courbe est au-dessous de l'axe des abscisses ;
$f (x) = 0$ : la courbe coupe l'axe des abscisses.

On le résume dans un tableau de signes : les valeurs de $x$ sur la première ligne, les signes $+$ ou $-$ et les $0$ sur la seconde.

Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe

Exemples corrigés

La courbe $C_{f}$ représente une fonction $f$ définie sur $[- 4; 4]$ ; la droite $C_{g}$ représente une fonction affine $g$ définie sur $R$ . Dresser le tableau de signes de $f$ , puis celui de $g$ .

Correction

Signe de $f$

C_{f}

coupe l'axe des abscisses en

x = - 3

, en

x = 1

et en

x = 3

là,

f (x) = 0

De gauche à droite : au-dessous, au-dessus, au-dessous, au-dessus.

signes

-

puis

+

puis

-

puis

+

Signe de $g$

C_{g}

coupe l'axe en

x = 2

; au-dessus avant, au-dessous après.

la droite descend

À vous de jouer

Dresser le tableau de signes des fonctions $k$ et $ℓ$ de la méthode 7 (droites $(d_{4})$ et $(d_{5})$ ).

Correction

Signe de $k$

(d_{4})

coupe l'axe des abscisses en

x = 0

; au-dessous avant, au-dessus après.

la droite monte

Signe de $ℓ$

(d_{5})

coupe l'axe des abscisses en

x = 1

; au-dessus avant, au-dessous après.

la droite descend

À faire : exercices 27 à 29

Exercice 27 — Signe d'une fonction

La courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $[- 4; 5]$ est tracée ci-dessous.

1.
Résoudre graphiquement $f (x) = 0$ .
2.
Dresser le tableau de signes de $f$ .
3.
Résoudre graphiquement $f (x) > 0$ .
4.
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

1) $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en $- 3$ , $1$ et $4$ : $S = {- 3; 1; 4}$ .

3) $S = [- 4; - 3 [\cup] 1; 4 [$ .

Ne pas confondre les deux tableaux : le signe dit si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe ; les variations, si elle monte ou descend.

Exercice 28 — Signe de fonctions affines

Dresser le tableau de signes des fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ et $f_{4}$ de l'exercice 20.

Corrigé

On lit où chaque droite coupe l'axe des abscisses :

$f_{1}$ : $-$ avant $1$ , $+$ après ; $f_{2}$ : $+$ avant $4$ , $-$ après ;

$f_{3}$ : $+$ avant $- 1$ , $-$ après ; $f_{4}$ : $-$ avant $0$ , $+$ après.

Même présentation pour $f_{3}$ et $f_{4}$ .

Exercice 29 — Des variations au signe

Une fonction $f$ , définie sur $[- 3; 5]$ , a le tableau de variations ci-dessous ; de plus, $f (- 1) = 0$ et $f (3) = 0$ . Dresser son tableau de signes.

Corrigé

$f$ monte de $- 2$ à $4$ en passant par $0$ en $- 1$ , puis descend de $4$ à $- 1$ en passant par $0$ en $3$ :