Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursIV Fonctions affines et linéaires

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Définition 4 — Fonction affine, fonction linéaire

Une fonction $f$ est affine s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ de $R$ :

f (x) = a x + b

Si $b = 0$ , $f (x) = a x$ : $f$ est linéaire (elle traduit une situation de proportionnalité).
Si $a = 0$ , $f (x) = b$ : $f$ est constante.

Propriété 1 — Droite représentative

La courbe d'une fonction affine $f (x) = a x + b$ est une droite :

$b$ est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0; b)$ ;
$a$ est le coefficient directeur : quand $x$ augmente de $1$ , $y$ augmente de $a$ (ou diminue, si $a$ est négatif).

La droite d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère.

Propriété 2 — Variations d'une fonction affine

Soit $f (x) = a x + b$ une fonction affine.

Si $a > 0$ , $f$ est croissante sur $R$ .
Si $a < 0$ , $f$ est décroissante sur $R$ .
Si $a = 0$ , $f$ est constante sur $R$ .

Démonstration

Correction

Soit $u$ et $v$ deux nombres tels que $u < v$ ; on compare $f (u)$ et $f (v)$ en étudiant le signe de leur différence.

f (v) - f (u)

= (a v + b) - (a u + b)

définition de

f

f (v) - f (u)

= a v + b - a u - b

on supprime les parenthèses

f (v) - f (u)

= a (v - u)

on factorise par

a

u < v

, donc

v - u > 0

f (v) - f (u)

a le signe de

a

règle des signes d'un produit

a > 0

f (v) - f (u) > 0

, donc

f (u) < f (v)

f

est croissante.

l'ordre est conservé

a < 0

f (v) - f (u) < 0

, donc

f (u) > f (v)

f

est décroissante.

l'ordre est inversé

a = 0

f (v) - f (u) = 0

, donc

f (u) = f (v)

f

est constante.

Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations

Exemples corrigés

Pour chaque fonction $f$ , $g$ , $h$ , dire si elle est affine ; si oui, donner $a$ , $b$ et ses variations.

a)
$f (x) = 5 - 3 x$
b)
$g (x) = (x + 2)^{2} - x^{2}$
c)
$h (x) = x (x + 1)$

Correction

f (x)

= 5 - 3 x

on recopie l'expression

f (x)

= - 3 x + 5

on écrit d'abord le terme en

x

f

est affine :

a = - 3

b = 5

forme

a x + b

a < 0

f

est décroissante sur

R

propriété 2

g (x)

= (x + 2)^{2} - x^{2}

on recopie l'expression

g (x)

= x^{2} + 4 x + 4 - x^{2}

identité remarquable

g (x)

= 4 x + 4

les

x^{2}

s'annulent

g

est affine :

a = 4

b = 4

;

a > 0

, donc

g

est croissante sur

R

il fallait développer pour le voir

h (x)

= x (x + 1)

on recopie l'expression

h (x)

= x^{2} + x

on développe

h

n'est pas affine.

il reste un terme en

x^{2}

À vous de jouer

Même consigne pour les fonctions $p$ , $q$ et $r$ :

p (x) = 2 (x - 3) + x

q (x) = - \frac{x}{2}

r (x) = (x - 1)^{2} - (x + 1)^{2}

Correction

$p$

p (x)

= 2 (x - 3) + x

on recopie l'expression

p (x)

= 2 x - 6 + x

on développe

p (x)

= 3 x - 6

on réduit

p

est affine :

a = 3

b = - 6

;

a > 0

, donc

p

est croissante sur

R

forme

a x + b

$q$

q (x)

= - \frac{x}{2}

on recopie l'expression

q (x)

= - \frac{1}{2} x

diviser par

2

, c'est multiplier par

\frac{1}{2}

q

est affine (linéaire) :

a = - \frac{1}{2}

b = 0

;

a < 0

, donc

q

est décroissante sur

R

$r$

r (x)

= (x - 1)^{2} - (x + 1)^{2}

on recopie l'expression

r (x)

= x^{2} - 2 x + 1 - (x^{2} + 2 x + 1)

identités remarquables

r (x)

= - 4 x

les

x^{2}

et les

1

s'annulent

r

est affine (linéaire) :

a = - 4

b = 0

;

a < 0

, donc

r

est décroissante sur

R

il fallait développer pour le voir

Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine

Exemples corrigés

Dans un même repère, tracer les droites représentant les fonctions $f (x) = 2 x - 3$ et $g (x) = - \frac{1}{2} x + 1$ .

Correction

Résolution

Deux points suffisent pour tracer une droite.

on calcule deux images

f (0) = - 3

f (3) = 6 - 3 = 3

points

(0; - 3)

(3; 3)

g (0) = 1

g (4) = - 2 + 1 = - 1

x = 4

est pair : la moitié est entière

On place les points, puis on trace chaque droite à la règle.

contrôle :

f

monte de

2

quand

x

avance de

1

À vous de jouer

Tracer les droites représentant $h (x) = - x + 2$ et $k (x) = \frac{1}{3} x - 1$ .

Correction

Résolution

h (0) = 2

h (2) = - 2 + 2 = 0

points

(0; 2)

(2; 0)

k (0) = - 1

k (3) = 1 - 1 = 0

x = 3

: le tiers est entier

On place les points, puis on trace chaque droite à la règle.

contrôle :

h

descend de

1

quand

x

avance de

1

À faire : exercices 15 à 19

Exercice 15 — Reconnaître une fonction affine

Pour chaque fonction, dire si elle est affine ; si oui, donner $a$ et $b$ , et préciser si elle est linéaire ou constante.

f (x) = 5 x + 2

g (x) = 6 - 2 x

h (x) = \frac{x}{3}

k (x) = - 4

m (x) = x^{2} + 3

p (x) = \frac{x - 1}{2}

Corrigé

f

: affine,

a = 5

b = 2

g

: affine,

a = - 2

b = 6

h

: linéaire,

a = \frac{1}{3}

b = 0

k

: constante,

a = 0

b = - 4

m

: non affine (

x^{2}

)

p

: affine,

a = \frac{1}{2}

b = - \frac{1}{2}

$g (x) = 6 - 2 x = - 2 x + 6$ : $a$ est le nombre devant $x$ , pas le premier nombre écrit. $p (x) = \frac{x - 1}{2} = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ .

Exercice 16 — Développer d'abord

Développer et réduire, puis dire si la fonction est affine et donner ses variations.

$f (x) = (x + 3)^{2} - x^{2}$

$g (x) = (2 x - 1) (x + 2) - 2 x^{2}$

$h (x) = (x + 1) (x - 1) - x (x + 2)$

Corrigé

f (x)

= (x + 3)^{2} - x^{2}

f (x)

= x^{2} + 6 x + 9 - x^{2}

f (x)

= 6 x + 9

$f$ affine, $a = 6 > 0$ : croissante.

g (x)

= (2 x - 1) (x + 2) - 2 x^{2}

g (x)

= 2 x^{2} + 4 x - x - 2 - 2 x^{2}

g (x)

= 3 x - 2

$g$ affine, $a = 3 > 0$ : croissante.

h (x)

= (x + 1) (x - 1) - x (x + 2)

h (x)

= x^{2} - 1 - x^{2} - 2 x

h (x)

= - 2 x - 1

$h$ affine, $a = - 2 < 0$ : décroissante.

Exercice 17 — Sens de variation

1.
Donner le sens de variation de chaque fonction :

$f (x) = - 3 x + 1$ $g (x) = 0, 5 x - 4$

$h (x) = 7$ $k (x) = 2 - \frac{x}{5}$
2.
Sans calcul, comparer $f (- 2)$ et $f (3)$ , puis $g (- 2)$ et $g (3)$ .

Corrigé

1) $f$ : $a = - 3 < 0$ , décroissante ; $g$ : $a = 0, 5 > 0$ , croissante ; $h$ : constante ; $k (x) = - \frac{1}{5} x + 2$ : $a < 0$ , décroissante.

2) $- 2 < 3$ et $f$ décroissante : $f (- 2) ⩾ f (3)$ . $g$ croissante : $g (- 2) ⩽ g (3)$ .

Contrôle : $f (- 2) = 7$ et $f (3) = - 8$ ; $g (- 2) = - 5$ et $g (3) = - 2, 5$ .

Exercice 18 — Tracer des droites

Dans un même repère, tracer les droites représentant les fonctions $f (x) = 2 x - 1$ , $g (x) = - x + 3$ , $h (x) = \frac{1}{2} x + 1$ et $k (x) = - 2$ .

Corrigé

Deux points par droite :

$f$ : $(0; - 1)$ et $(2; 3)$ ;

$g$ : $(0; 3)$ et $(3; 0)$ ;

$h$ : $(0; 1)$ et $(2; 2)$ ;

$k$ : droite horizontale passant par $(0; - 2)$ .

Pour $h$ , on choisit $x$ pair : $\frac{1}{2} x$ est entier.

Exercice 19 — Deux formules d'abonnement

Une salle de sport propose deux formules mensuelles : A, $30$ € par mois ; B, $12$ € par mois plus $3$ € par séance. On note $x$ le nombre de séances dans le mois, entre $0$ et $10$ .

1.
Exprimer les prix $A (x)$ et $B (x)$ en fonction de $x$ .
2.
Quelle est la nature de chaque fonction ? Donner leurs variations.
3.
Tracer leurs représentations dans un repère (1 carreau pour une séance en abscisse, 1 carreau pour 5 € en ordonnée).
4.
Lire à partir de combien de séances la formule A est la moins chère.
5.
Le confirmer en calculant $B (6)$ .

Corrigé

1) $A (x) = 30$ et $B (x) = 3 x + 12$ .

2) $A$ est constante ; $B$ est affine, croissante ( $a = 3 > 0$ ).

3) Droite horizontale pour $A$ ; droite passant par $(0; 12)$ et $(10; 42)$ pour $B$ .

4) Les droites se coupent en $x = 6$ ; au-delà, celle de $B$ est au-dessus : A est la moins chère à partir de 7 séances.

5) $B (6) = 3 \times 6 + 12 = 30$ : à $6$ séances, les deux formules coûtent $30$ €.