Chapitre 5 — Variations, signe et inéquations · coursXIV Problèmes d'inéquations

Sommaire du chapitre

I — Fonction croissante, fonction décroissante
- Méthode 1 — Lire les variations d'une fonction sur sa courbe
II — Maximum, minimum
- Méthode 2 — Lire les extremums d'une fonction sur sa courbe
III — Tableau de variations
- Méthode 3 — Dresser le tableau de variations à partir de la courbe
- Méthode 4 — Exploiter un tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
- Méthode 5 — Reconnaître une fonction affine et donner ses variations
- Méthode 6 — Tracer la droite d'une fonction affine
V — Fonction affine par lecture graphique
- Méthode 7 — Retrouver l'expression d'une fonction affine sur sa droite
VI — Fonction affine passant par deux points
- Méthode 8 — Trouver la fonction affine qui passe par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
- Méthode 9 — Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
- Méthode 10 — Encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
- Méthode 11 — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
- Méthode 12 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$
XI — Inéquations produit
- Méthode 13 — Résoudre une inéquation produit
XII — Inéquations quotient
- Méthode 14 — Résoudre une inéquation quotient
XIII — Inéquations avancées
- Méthode 15 — Se ramener à une comparaison avec $0$
XIV — Problèmes d'inéquations
- Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Méthode 16 — Résoudre un problème avec une inéquation

Exemples corrigés

Pour une fête, la salle A coûte $200$ € plus $15$ € par invité ; la salle B coûte $50$ € plus $20$ € par invité. On note $x$ le nombre d'invités.

a)
Exprimer les prix $A (x)$ et $B (x)$ des deux salles.
b)
Traduire « la salle A est moins chère que la salle B » par une inéquation.
c)
Résoudre cette inéquation.
d)
Conclure par une phrase.

Correction

A (x) = 15 x + 200

B (x) = 20 x + 50

prix par invité fois

x

, plus le prix fixe

A (x) < B (x)

, soit

15 x + 200 < 20 x + 50

« moins cher » : strictement inférieur

15 x + 200

< 20 x + 50

on recopie l'inéquation

15 x - 20 x

< 50 - 200

les

x

à gauche, les nombres à droite

- 5 x

< - 150

on réduit

x

> 30

on divise par

- 5 < 0

: le sens change

La salle A est moins chère à partir de

31

invités.

x

est un nombre entier ; pour

30

invités, les prix sont égaux

À vous de jouer

Le taxi A facture $4$ € de prise en charge, puis $1, 50$ € par kilomètre ; le taxi B facture $10$ € de prise en charge, puis $1$ € par kilomètre. On note $x$ la distance parcourue, en km.

1°)
Exprimer les prix $A (x)$ et $B (x)$ des deux taxis.
2°)
Traduire « le taxi A est moins cher que le taxi B » par une inéquation.
3°)
Résoudre cette inéquation.
4°)
Conclure par une phrase.

Correction

1°)

A (x) = 1, 5 x + 4

B (x) = x + 10

prix au kilomètre fois

x

, plus la prise en charge

2°)

A (x) < B (x)

, soit

1, 5 x + 4 < x + 10

« moins cher » : strictement inférieur

3°)

1, 5 x + 4

< x + 10

on recopie l'inéquation

1, 5 x - x

< 10 - 4

les

x

à gauche, les nombres à droite

0, 5 x

< 6

on réduit

x

< 12

on divise par

0, 5 > 0

: même sens

4°)

Le taxi A est moins cher pour une course de moins de

12

km.

pour

12

km, les deux prix sont égaux :

22

€

À faire : exercices 51 à 53

Exercice 51 — Moyenne trimestrielle

Une élève a obtenu $9$ , $12$ et $10$ sur $20$ aux trois premiers devoirs du trimestre. On note $n$ sa note au quatrième devoir.

1.
Exprimer la moyenne $M (n)$ de ses quatre notes.
2.
Quelles notes doit-elle obtenir pour avoir au moins $12$ de moyenne ?
3.
Peut-elle encore obtenir au moins $15$ de moyenne ?

Corrigé

1) $M (n) = \frac{31 + n}{4}$ .

\frac{31 + n}{4}

⩾ 12

31 + n

⩾ 48 \times 4 > 0

n

⩾ 17

Il lui faut au moins 17 sur 20.

3) $31 + n ⩾ 60$ donne $n ⩾ 29$ : impossible, car une note ne dépasse pas $20$ .

Exercice 52 — Rectangle ou carré

Un rectangle a pour longueur $x + 5$ et pour largeur $3$ ; un carré a pour côté $x$ (longueurs en cm, $x > 0$ ).

1.
Exprimer le périmètre $P (x)$ du rectangle et le périmètre $Q (x)$ du carré.
2.
Pour quelles valeurs de $x$ le périmètre du carré est-il plus grand que celui du rectangle ?
3.
Vérifier avec $x = 10$ .

Corrigé

P (x)

= 2 (x + 5) + 2 \times 3

P (x)

= 2 x + 16

et $Q (x) = 4 x$ .

2) $4 x > 2 x + 16$ , donc $2 x > 16$ , puis $x > 8$ : pour $x > 8$ .

3) $P (10) = 36$ et $Q (10) = 40$ : on a bien $40 > 36$ .

Exercice 53 — Trottinettes en libre-service

Deux opérateurs louent des trottinettes. Opérateur A : $1$ € pour débloquer, puis $0, 20$ € par minute ; opérateur B : $0, 30$ € par minute, sans déblocage. On note $x$ la durée du trajet en minutes, entre $0$ et $30$ .

1.
Exprimer les prix $A (x)$ et $B (x)$ .
2.
Calculer le prix d'un trajet de $5$ minutes, puis de $20$ minutes, avec chaque opérateur.
3.
Résoudre l'inéquation $A (x) < B (x)$ sur $[0; 30]$ .
4.
Quel opérateur choisir, selon la durée du trajet ?

Corrigé

1) $A (x) = 0, 2 x + 1$ et $B (x) = 0, 3 x$ .

2) $5$ minutes : $A (5) = 2$ € et $B (5) = 1, 50$ € ; $20$ minutes : $A (20) = 5$ € et $B (20) = 6$ €.

0, 2 x + 1

< 0, 3 x

0, 2 x - 0, 3 x

< - 1

- 0, 1 x

< - 1

x

> 10 \div (- 0, 1) : le sens change

Avec $0 ⩽ x ⩽ 30$ : $S =] 10; 30]$ .

4) B est moins cher pour moins de $10$ minutes, A pour plus de $10$ minutes ; à $10$ minutes, les deux coûtent $3$ €.

Problème de synthèse

Exercice 54 — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 6]$ par $f (x) = (x - 1) (x - 5)$ .

1.
Dresser le tableau de valeurs de $f$ de $x = 0$ à $x = 6$ , avec un pas de $1$ .
2.
Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormé (unité : 1 carreau).
3.
Donner les variations de $f$ , puis dresser son tableau de variations.
4.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[0; 6]$ .
5.
Dresser, par le calcul, le tableau de signes de $f (x)$ sur $[0; 6]$ .
6.
Résoudre $f (x) < 0$ , puis le vérifier sur la courbe.

Corrigé

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

2) Courbe ci-contre.

3) $f$ est décroissante sur $[0; 3]$ et croissante sur $[3; 6]$ .

4) Maximum $5$ , en $0$ et en $6$ ; minimum $- 4$ , en $3$ .

5) $x - 1$ s'annule en $1$ , $x - 5$ en $5$ ; tous deux $-$ puis $+$ .

6) $S =] 1; 5 [$ : sur la courbe, c'est là qu'elle est au-dessous de l'axe des abscisses.